Школа №179 из 6 в 7 класс 2022 год

Школа № 179

2022 год

28.03.2022

1. Спидометр грузовика настроен на шины диаметром 22.5 дюйма. На шиномонтаже его оборудовали шинами диаметром 21 дюйм. Какова реальная скорость грузовика, если спидометр показывает 90 км/ч?
   
   
2. Агафья задумала число, перемножила в нём все цифры и в получившемся произведении убрала последнюю цифру, получив 15. Какую цифру она убрала?
   
   
3. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
   
   
4. Можно ли найти 2022 таких различных натуральных числа, что квадрат любого из них не превосходит суммы остальных?
   
   
5. Волк, Медведь, Заяц и Лиса соревновались в беге по кольцевой трассе. Они стартовали одновременно, бежали с постоянными скоростями и через некоторое время вновь поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента Заяц обогнал Лису один раз, Лиса обогнала Волка три раза, Волк обогнал Медведя два раза. Сколько раз до этого момента Заяц обогнал Медведя?
   
   
6. Мастер делает бусы из трёх красных бусин, пяти синих и одной зелёной. Сколько различных бус он может сделать? Бусины круглые, бусы можно поворачивать и переворачивать.
   
   
7. Из клетчатой доски размером \( 7 \times 7 \) вырезали центральную клетку. Затем доску разрезали на прямоугольники со сторонами, лежащими на линиях сетки, и вершинами, лежащими в узлах. Какое наибольшее значение может принимать произведение площадей этих прямоугольников?

Решения задач

1. Спидометр грузовика показывает 90 км/ч при диаметре шин 22.5 дюйма. Реальную скорость определяем через отношение диаметров:
   Решение: \[ v_{\text{реал}} = \frac{d_{\text{нов}}}{d_{\text{старый}}} \cdot v_{\text{показаний}} = \frac{21}{22.5} \cdot 90 = 0.9333 \cdot 90 = 84\,\text{км/ч}. \] Ответ: 84.
   
   
2. Агафья перемножила цифры числа и после удаления последней цифры получила 15. Значит исходное произведение цифр — трёхзначное число вида \(15x\). Единственное подходящее значение \(x = 8\), так как \(158 = 2 \cdot 79\) (но не требуются простые множители). Ответ: 8.
   Ответ: 8.
   
   
3. Пусть \(x\) кг костей в 1 кг мяса. Стоимость 1 кг смеси: \[ 90(1 - x) + 15x = 78 \quad \Rightarrow \quad 90 - 75x = 78 \quad \Rightarrow \quad x = 0.16\,\text{кг} = 160\,\text{г}. \] Ответ: 160.
   
   
4. Возможность выбрать 2022 различных натуральных числа с условием \(n_i^2 \leq \sum_{j \neq i} n_j\) невозможна: для максимального числа \(n_{2022}\) сумма остальных равна \(S - n_{2022}\) и \(n_{2022}^2 \leq S - n_{2022}\). Но \(S \approx \frac{2022 \cdot 2023}{2}\) растёт квадратично, чего недостаточно. Ответ: нельзя.
   Ответ: нельзя.
   
   
5. Используем линейную алгебру относительных скоростей:
   \[ \begin{cases} H - F = 1 \\ F - W = 3 \Rightarrow H - W = 4 \\ W - B = 2 \Rightarrow H - B = 6 \end{cases} \] Ответ: 6.
   
   
6. Для бус с вращениями и отражениями применяем формулу Бернсайда. Учитывая уникальность зелёной бусины, получаем:
   Ответ: 8 различных бус.
   
   
7. Максимальное произведение площадей при разбивке доски \(7 \times 7\) без центральной клетки на доминошки \(2 \times 1\): \[ (2)^{24}. \] Ответ: \(2^{24}\).