Школа №179 из 6 в 7 класс 2022 год

Школа № 179

2022 год

14.03.2022

1. Машина едет со скоростью 100 км/ч. С какой скоростью ей необходимо ехать, чтобы проезжать один километр на 20% быстрее, чем сейчас?
   
   
2. Найдите угол (в градусах) между часовой и минутной стрелками в 16:20.
   
   
3. Про четыре числа известно, что их попарные суммы равны 2, 5, 8, 7, 10, 13. Чему равна сумма всех этих чисел?
   
   
4. Пекарня печёт пирожки, добавляя в каждый либо капусту, либо лук, либо и то, и то. За день пекарня сделала 200 пирожков, причём в половине пирожков с капустой был лук, а в четверти пирожков с луком была капуста. Сколько пирожков с чем было?
   
   
5. Сколько существует пятизначных чисел, у которых вторая цифра меньше третьей?
   
   
6. Решите числовой ребус, где разными знаками обозначены разные цифры, а одинаковыми — одинаковые. Докажите, что найдены все решения.
   
   
7. Можно ли придумать такую последовательность из 2022 различных чисел, что все они имеют вид \( \frac{1}{n} \), где \( n \) — натуральное число, причём разность между любыми двумя соседними числами этой последовательности — одно и то же число?

Решения задач

1. Машина едет со скоростью 100 км/ч. С какой скоростью ей необходимо ехать, чтобы проезжать один километр на 20% быстрее, чем сейчас?
   Решение: Текущее время проезда 1 км:
   $t = \frac{1}{100}$ ч = 0,01 ч
   Ускорение на 20% означает новое время $t_{\text{нов}} = 0,01 \cdot 0,8 = 0,008$ ч
   Новая скорость:
   $v = \frac{1}{t_{\text{нов}}} = \frac{1}{0,008} = 125$ км/ч
   Ответ: 125 км/ч.
2. Найдите угол (в градусах) между часовой и минутной стрелками в 16:20.
   Решение: В 16:00 часовая стрелка на 4 часах, что равно:
   $4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$
   За 20 минут часовая смещается:
   $\frac{20}{60} \cdot 30^{\circ} = 10^{\circ}$, итого положение часовой: $120^{\circ} + 10^{\circ} = 130^{\circ}$
   Минутная стрелка в 20 минут:
   $20 \cdot 6^{\circ} = 120^{\circ}$
   Разница: $|130^{\circ} - 120^{\circ}| = 10^{\circ}$
   Ответ: $10^{\circ}$
3. Про четыре числа известно, что их попарные суммы равны 2, 5, 8, 7, 10, 13. Чему равна сумма всех этих чисел?
   Решение: Пусть числа $a \leq b \leq c \leq d$. Попарные суммы:
   $a + b = 2$, $\quad$ $a + c = 5$, $\quad$ $a + d = 8$,
   $b + c = 7$, $\quad$ $b + d = 10$, $\quad$ $c + d = 13$
   Суммируя все равенства:
   $(a + b) + (a + c) + (a + d) + (b + c) + (b + d) + (c + d) = 2 + 5 + 8 + 7 + 10 + 13 = 45$
   Слева: $3(a + b + c + d) = 45$ $\implies$ $a + b + c + d = 15$
   Ответ: 15.
4. Пекарня печёт пирожки, добавляя в каждый либо капусту, либо лук, либо и то, и то. За день пекарня сделала 200 пирожков, причём в половине пирожков с капустой был лук, а в четверти пирожков с луком была капуста. Сколько пирожков с чем было?
   Решение:
   Пусть $K$ — пирожки только с капустой, $L$ — только с луком, $KL$ — с обоими.
   Из условия:
   $KL = \frac{1}{2}(K + KL)$ $\implies$ $2KL = K + KL$ $\implies$ $KL = K$
   $KL = \frac{1}{4}(L + KL)$ $\implies$ $4KL = L + KL$ $\implies$ $L = 3KL$
   Общее количество: $K + L + KL = 200$
   Подставляя $K = KL$ и $L = 3KL$:
   $KL + 3KL + KL = 5KL = 200$ $\implies$ $KL = 40$, $K = 40$, $L = 120$
   Ответ: 40 пирожков с капустой, 120 с луком, 40 с обоими.
5. Сколько существует пятизначных чисел, у которых вторая цифра меньше третьей?
   Решение: Числа вида $\overline{abcde}$, где $b < c$. Количество возможных пар $b$ и $c$:
   $\sum_{c=0}^{9} \sum_{b=0}^{c-1} 1 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$
   Для каждой пары количество вариантов: $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ (цифры $a \in 1-9$, $d, e \in 0-9$)
   Всего чисел: $45 \cdot 900 = 40\,500$
   Ответ: 40500.
6. Решите числовой ребус, где разными знаками обозначены разные цифры, а одинаковыми — одинаковые. Докажите, что найдены все решения.
   Решение: В условии отсутствует конкретный ребус. Для решения требуется спецификация задания.
   Ответ: Условие задачи требует уточнения.
7. Можно ли придумать такую последовательность из 2022 различных чисел, что все они имеют вид \( \frac{1}{n} \), где \( n \) — натуральное число, причём разность между любыми двумя соседними числами этой последовательности — одно и то же число?
   Решение: Предположим, такая последовательность существует. Тогда разность $d$ постоянна. Пусть первое число равно $\frac{1}{k}$, следующее $\frac{1}{k} - d$, что требует:
   $\frac{1}{k} - d = \frac{1}{m}$, где $m > k$
   Далее: $\frac{1}{m} - d = \frac{1}{p}$ и т.д. Однако последовательность $\frac{1}{n}$ убывает с ростом $n$, а арифметическая прогрессия предполагает равномерное изменение. Для большого $n$ дробные значения сближаются, невозможно получить 2022 различных элемента с одинаковой разностью.
   Ответ: Нет.