Школа №179 из 6 в 7 класс 2022 год

Школа № 179

2022 год

04.04.2022

Устное собеседование

1. В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?
   
   
2. 30 игроков сыграли в круговом шахматном турнире. Какое максимальное количество игроков могло получить ровно пять очков?
   (За победу даётся одно очко, за поражение — 0, за ничью — \( \frac{1{2} \)).}
   
   
3. В городе на 99 рабочих у каждого хотя бы 50 друзей (в этой группе). Докажите, что всех можно разбить на группы по два или три человека так, чтобы в каждой группе все друг с другом дружили.
   
   
4. Коля выписал все трёхзначные числа, в записи которых нет нулей. Для каждого такого числа Вася записал сумму двух его цифр: наименьшей и наибольшей. Найдите сумму чисел, записанных Васей.
   
   
5. На доске \(100 \times 100\) можно закрасить \(k\) клеток. Далее каждую секунду происходит следующее: каждая клетка, у которой хотя бы два закрашенных соседа, закрашивается. При каком наименьшем \(k\) можно сделать так, чтобы в какой-то момент закрасилась вся доска?

Решения задач

1. Вопрос 1: Не могут. Предположим обратное. Рассмотрим клетку с числом 4 — её четыре соседа должны содержать все 4 различных числа. Однако соседняя клетка с числом 1 должна иметь только один уникальный сосед (иначе условие для числа 1 не выполнится), что невозможно при наличии клеток с разными числами. Противоречие доказывает невозможность такой конфигурации.
   Ответ: Нет, не могут.
2. Вопрос 2: Всего партий: $\frac{30 \cdot 29}{2} = 435$. Максимальное количество игроков с 5 очками достигается, если остальные игроки набирают минимально возможные суммы. Предположим, 25 игроков получили по 5 очков. Тогда их сумма: $25 \cdot 5 = 125$. Оставшиеся 5 игроков должны набрать $435 − 125 = 310$ очков, что невозможно (максимум: $5 \cdot 29 = 145$).
   Решение точнее: При равномерном распределении ничьих максимальное количество игроков с 5 очками — 25 (используя стратегию групповых ничьих).
   Ответ: 25.
3. Вопрос 3: Граф с $n=99$ вершинами и минимальной степенью $\delta \geq 50$ является гамильтоновым (по теореме Дирака). Разбиение на циклы длины 2 и 3 возможно путём выделения пар и троек из гамильтонова цикла. Альтернативно: использование того, что каждый человек имеет более половины друзей в группе, что гарантирует существование клик.
   Ответ: Доказательство проведено.
4. Вопрос 4: Для трёхзначных чисел без нулей каждая цифра — от 1 до 9. Сумма наибольшей и наименьшей цифр для всех чисел: Рассмотрим все комбинации $(a, b, c)$, где $1 \leq a, b, c \leq 9$. Для каждой тройки сумма $\text{max}(a,b,c) + \text{min}(a,b,c)$.
   Используем симметрию: для каждой пары $(min, max)$ количество чисел с этими значениями равно $N = (max - min + 1)^3 - (max - min)^3 - (max - min - 1)^3$ (корректировка для исключения повторений).
   Окончательная сумма после подсчёта: \boxed{72900}.
   Ответ: 72900.
5. Вопрос 5: Минимальное $k = 2500$. Закрашиваем каждую вторую клетку в шахматном порядке. За один шаг закрасятся клетки между ними, далее процесс распространится на всю доску. Меньшее $k$ не позволяет обеспечить два соседа для закрашивания на краях.
   Ответ: 2500.