Школа №179 из 6 в 7 класс 2022 год

Школа № 179

2022 год

04.04.2022

Письменная работа

1. В корзине лежат яблоки, апельсины и мандарины. Среди любых десяти фруктов есть хотя бы одно яблоко, среди любых семи — апельсин, среди любых 12 — мандарин. Какое наибольшее количество фруктов может быть в корзине, и сколько чего получается в таком случае?
   
   
2. Найдите наименьшее натуральное \( n \), для которого число \( n! \) делится на 11000.
   Примечание: \( n! \) — это число, равное \( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \).
   
   
3. Из горячего крана вода нагревается за 23 минуты, из холодного крана вода охлаждается за 23 минуты, и при открытом одном кране температура падает за 11 минут. Через сколько минут она должна открыться холодной, чтобы в момент начала работы второго крана вода находилась в 1,5 раза более холодной, чем тёплой?
   
   
4. За столом собрались рыцари (всегда говорят правду), лжецы (всегда лгут) и хитрецы (чередуют правду и ложь в своих фразах). Один из них сказал: «Мой сосед слева — хитрец». Этот сосед сказал: «Мой правый сосед солгал». В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили «Мой правый сосед солгал» много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят. Определите, кто из них кто, если известно, что всего их (1) 10; (2) 11.
   
   
5. Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы \( 5 \times 8 \) по одной цифре так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце ровно четырежды встречалась каждая цифра (от 0 до 9), и так, и строя таблицу. Докажите, что у неё это не получится.
   
   
6. 30 игроков сыграли в круговом шахматном турнире. Какое максимальное количество игроков могло получить ровно пять очков?
   (За победу даётся одно очко, за поражение — $0$, за ничью — $0,5$)

Решения задач

1. В корзине лежат яблоки, апельсины и мандарины. Среди любых десяти фруктов есть хотя бы одно яблоко, среди любых семи — апельсин, среди любых 12 — мандарин. Какое наибольшее количество фруктов может быть в корзине, и сколько чего получается в таком случае?
   Решение: Рассмотрим ограничения:
   • О+М ≤9 (иначе можно выбрать 10 фруктов без яблок)
   • Я+М ≤6 (иначе можно выбрать 7 фруктов без апельсинов)
   • Я+О ≤11 (иначе можно выбрать 12 фруктов без мандаринов)
   Решим систему: \[ \begin{cases} \text{Я = 4} \\ \text{О = 7} \\ \text{М = 2} \end{cases} \] Проверка: 4+7+2=13 фруктов. Все условия выполняются.
   Ответ: 13 фруктов (4 яблока, 7 апельсинов, 2 мандарина).
2. Найдите наименьшее натуральное \( n \), для которого число \( n! \) делится на 11000.
   Решение: Разложим 11000: \( 11000 = 11 \cdot 2^3 \cdot 5^3 \). Требуется:
   • \( n \geq 11 \) (для множителя 11)
   • Количество множителей 5 в \( n! \): \( \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor \geq 3 \)
   Проверяем \( n=15 \): \[ \left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{15}{25} \right\rfloor = 3 + 0 = 3 \] Ответ: \( n=15 \).
3. Из горячего крана вода нагревается за 23 минуты, из холодного крана вода охлаждается за 23 минуты, и при открытом одном кране температура падает за 11 минут. Через сколько минут она должна открыться холодной, чтобы в момент начала работы второго крана вода находилась в 1,5 раза более холодной, чем тёплой?
   Решение: Пусть параметры нагрева/охлаждения линейны. Примем соотношение температур \( \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{гор}}} = 1.5 \). Составим уравнение: \[ \frac{t}{23} = \frac{3}{2} \cdot \frac{11}{23} \] Решая, получим \( t=11 \).
   Ответ: 11 минут.
4. Определите, кто из них кто, если известно, что всего их (1) 10; (2) 11.
   Решение:
   1. Для 10 участников: Цикл Рыцарь-Лжец-Рыцарь-Лжец...+ Хитрецы на позициях 1 и 10. Первый участник — лжец, десятый — лжец, остальные чередуются.
   2. Для 11 участников: Аналогично, но добавляется центральный хитрец для согласованности. Ответ: Рыцари и лжецы чередуются, один хитрец.
5. Докажите, что таблица \( 5 \times 8 \) не может быть заполнена цифрами с условием.
   Решение: В каждой строке 8 клеток. Для размещения 10 цифр по 4 раза суммарно требуется \( 10 \cdot 4=40 \) клеток, но строк всего 5. Противоречие: каждая строка должна содержать 40 цифр при наличии только 8 клеток.
   Ответ: Невозможно выполнить условие ввиду противоречия количества клеток.
6. Какое максимальное количество игроков могло получить ровно пять очков?
   Решение: Суммарные очки турнира: \( \frac{30 \cdot 29}{2}=435 \). Пусть \( x \) игроков имеют по 5 очков. Остаётся \( 435-5x \) очков. Для минимизации оставшихся максимизируем межгрупповые поражения. Решение уравнения \( 5x \leq 435 \): \( x \leq87 \), но максимально возможное значение с учётом взаимодействий:
   Ответ: 25 игроков.