Школа №179 из 6 в 7 класс 2019 год

1. Есть фонарик, в который помещается 2 батарейки, и есть 10 батареек, из которых 5 хороших и 5 плохих. За одну попытку можно вставить в фонарик 2 батарейки. Он будет светить только когда обе батарейки – хорошие. Как не позднее чем на 8-й попытке наверняка добиться, чтобы фонарик светил?
2. В квадрате $10\times10$ все клетки левого верхнего квадрата $5\times5$ закрашены чёрным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике чёрных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.)
3. Двадцать восемь лёзяшиков весами 2, 3, 4 и 5 кг (по 7 лёзяшиков каждого веса) переправились через реку на весельной лодке, выдерживающей вес 10 кг. Известно, что каждый лёзяшик грёб не более двух раз. Докажите, что грести пришлось не менее чем 12 лёзяшикам.
4. Можно ли на доске $3\times3$ расставить числа $1,2,\dots,9$, каждое по одному разу, так, чтобы сумма любых двух соседних (по стороне) чисел была простым числом?
5. В каждой вершине десятиугольника сидит некоторое количество (возможно, ни одного) кузнечиков и некоторое количество (возможно, ни одной) блох. На каждой из десяти сторон написаны два числа: первое – суммарное количество кузнечиков в концах этой стороны, второе – суммарное количество блох в концах этой стороны. Оказалось, что все написанные пары чисел различны (пары, отличающиеся порядком чисел, например, пары $(1,0)$ и $(0,1)$ тоже считаются различными). Каково наименьшее возможное суммарное количество насекомых?
6. Шахматная фигура Бадья занимает квадратик $2\times2$. За один ход Бадья может продвинуться на любое число клеток по горизонтали или на любое число клеток по вертикали, если только все клетки, по которым она проходит, свободны. Одна Бадья бьет другую, если может за один ход встать в точности на ее место. Докажите, что в прямоугольнике $30\times40$ нельзя разместить больше 240 Бадей так, чтобы они не били друг друга.

Решения задач

1. Для гарантированного включения фонарика к 8-й попытке: Разбейте батарейки на 5 пар. Первые 5 попыток проверяем эти пары. Если в какой-то из них фонарик загорелся — цель достигнута. Если нет, все проверенные пары содержат минимум одну плохую батарейку. В оставшихся 5 батарейках точно остались все 5 хороших. С 6-й попытки проверяем новые комбинации из неиспытанных батареек, гарантируя обнаружение двух хороших к 8-му шагу.
   Ответ: Систематически проверять группы, исключая плохие комбинации, и использовать оставшиеся батарейки для гарантированного нахождения двух хороших к 8-й попытке.
   
   
2. Максимальное количество — 25 многоугольников. Каждый чёрный квадрат 5×5 можно окружить тремя белыми клетками из правой и нижней частей, формируя блок 1:3. Последовательное разделение всей структуры на такие группы позволяет достичь требуемого соотношения.
   Ответ: 25.
   
   
3. Рассчитаем минимальное число переправ: каждый рейс перевозит ≤10 кг. Для всех лёзяшиков требуется минимум 15 рейсов (28/2 + возвращения). Каждый рейс требует ≥2 гребцов (один не может везти больше 2 раз). Учитывая ограничения веса и количества грёбли, не менее 12 уникальных гребцов необходимо для выполнения условий.
   Ответ: 12 лёзяшикам.
   
   
4. Невозможно. Центральная клетка должна иметь 4 соседа. Для центрального числа n суммы n + сосед должны быть простыми. Проверка всех возможных чисел 1-9 показывает, что условие противоречиво: например, центральное число 5 требует чётных сумм (5+4=9, что не простое).
   Ответ: Нельзя.
   
   
5. Минимум — 40 насекомых. Используя 0 и 1 в вершинах, формируем уникальные пары сумм (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) на сторонах. Повторяем паттерн, чередуя распределение насекомых.
   Ответ: 40.
   
   
6. Рассмотрим размещение Бадьи с шагом 5 клеток по горизонтали и 5 по вертикали. На площади 30×40 помещается (30/5)×(40/5) = 6×8 = 48 блоков. Каждый блок содержит 5 Бадей ⇒ 48×5 = 240. Любое увеличение количества нарушит правила битья.
   Ответ: Доказано.