Школа №179 из 6 в 7 класс 2019 год

1. Пятнадцать шестеренок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третьей, и т.д., пятнадцатая с первой. Может ли такой механизм вращаться? А если их соединить произвольно не по кругу (все шестеренки при этом должны быть связаны друг с другом)?
2. Маша пролистывала фотографии на экране телефона смахиванием руки по одной фотографии вправо или влево, вернувшись в конце концов к исходной. Докажите, что она сделала чётное количество смахиваний.
3. Может ли прямая пересекать все звенья замкнутой 15‑звенной ломаной, не проходя через её вершины?
4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение.
   1. Может ли в результате получиться число 1535?
   2. Может ли получиться 1500?
5. Можно ли в таблице $3\times5$ расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке была чётной, а в каждом столбце нечётной?
6. Может ли так быть, что среди 15 поступающих в математический класс каждый успел познакомиться ровно с пятью другими ребятами (знакомство взаимно)?
7. Антон с младшей сестрой и Тоня с младшим братом поступали в матклассы и решали задачи, получив в итоге за каждую задачу целое число баллов. Антон набрал столько же баллов, сколько его сестра, а Тоня — втрое больше, чем её брат. В сумме все они набрали 75 баллов. Сколько баллов набрала Тоня?
8. 1. В ряд выписаны числа от 1 до 15. Можно ли расставить между ними знаки ``+'' и ``--'' так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
   2. Можно ли так сделать для чисел от 1 до 14?
   3. При каких $N$ это можно сделать для ряда чисел от 1 до $N$?
9. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью. Каждые 15 минут она поворачивает под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет только через целое число часов.

Решения задач

1. Механизм из 15 шестерёнок, соединенных по кругу, вращаться не может, так как цепь с нечётным числом звеньев создаёт противоречие в направлениях вращения. Для произвольного связного соединения также невозможно, так как в любом связном графе с нечётным числом ребер существует хотя бы один цикл нечётной длины.
   Ответ: В круговом механизме — нет, в произвольном связном — тоже нет.
2. Каждое смахивание вправо (+1) и влево (-1) меняет положение на ±1. Поскольку Маша вернулась в исходную точку, сумма шагов равна нулю: количество правых и левых движений одинаково ⇒ общее число смахиваний чётно.
   Ответ: Да, чётное.
3. Да, возможно. Пример: замкнутую ломаную можно построить в виде "ёлочки", пересекаемой прямой поочередно через каждое звено. Условие выполняется.
   Ответ: Да, может.
4. 1. Рассмотрим уравнение $(a-b)ab = 1535$. Так как 1535 = 5 × 307, возможные варианты:
      $a = 307$, $b = 302$ ⇒ разность 5, произведение 307×302=92 714 ⇒ 5×92 714=463 570 ≠ 1535.
      Нет решений. Ответ: Нет.
   2. $(a-b)ab =1500$. Например, $a=6$, $b=1$: $(6-1)×6×1=30 ≠1500$. Другой вариант: $a=25$, $b=10$: $(15)×250=3750 ≠1500$. Нет решений. Ответ: Нет.
5. Сумма чисел в строках чётная (3 раза), общая сумма чётная. Сумма столбцов (5 раз), должна быть нечётной, что даёт противоречие. Невозможно.
   Ответ: Нет.
6. Сумма степеней в графе должна быть чётной. Здесь 15×5 =75 (нечётное) ⇒ граф невозможен.
   Ответ: Нет.
7. Пусть Антон и сестра набрали $a$ баллов каждый, Тоня — $3b$, брат — $b$. Сумма: $2a + 4b =75$. Левая часть чётна, правая — нет. Задача противоречива.
   Ответ: Невозможно.
8. 1. Сумма от 1 до 15: 120. Нужно разбить на две части по 60. Пример: $(1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+13-14-15)=0$.
      Ответ: Да.
   2. Сумма от 1 до 14:105 (нечётное) ⇒ невозможно.
      Ответ: Нет.
   3. При $N$ таких, что $\frac{N(N+1)}{2}$ чётно ⇒ $N ≡0$ или $3\:(\text{mod}\:4)$.
      Ответ: $N ≡0,3 \:(\text{mod}\:4)$.
9. Для возврата смещения по осям X и Y должны быть нулевыми. Повороты через каждые 15 минут ⇒ время движения кратно 4×15=60 мин.
   Ответ: Да, через целое число часов.