Школа №179 из 6 в 7 класс 2018 год вариант 2

ГИМНАЗИЯ №1567

2018 год

28.04.2018

1. За одно нажатие кнопки \{Ц\} число на экране калькулятора можно увеличить на его дробную часть (например, из $3/7$ получить $6/7$, а из $3.8$ получить $3.8 + 0.8 = 4.6$). Начав с положительного числа меньшего 1, за 10 нажатий получили число 10. С какого числа начали?
   
   
2. Откопав клад из 100 рубинов, каждый из семи Анатолиев схватил столько рубинов, сколько успел. Однако, когда у одного из Анатолиев рубинов меньше, чем у любого другого, он обижается, и все остальные, по их обычаю, должны отдать ему по одному рубину. Этот процесс они повторяют до тех пор, пока кто-либо из Анатолиев обижается. Докажите, что передел собственности рано или поздно закончится.
   
   
3. Есть 720 спичек, разложенных в 100 кучек. Два игрока ходят по очереди. Каждым ходом выбирается кучка, делится на две меньшие части, и эти части сливаются с двумя из оставшихся кучек. Игрок победит, если после его хода во всех кучках станет поровну спичек. Если же после его хода остались всего две кучки, и они не равны, игрок проиграл. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
   
   
4. Сумма трёх натуральных чисел равна 520. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться их произведение?
   
   
5. В итоговой таблице результатов группового турнира по футболу 4 команды расположились так, что у каждой, начиная со второй, ровно на 1 очко меньше, чем у предыдущей. Восстановите исходы всех матчей. (Давалось 3 очка за победу, 1 за ничью, 0 за поражение.)

1. $\frac{5}{512}$
2. Доказано
3. Первый игрок
4. 5
5. A > B, A > C, A < D; B = C, B = D; C = D

Решения задач

1. За одно нажатие кнопки \{Ц\} число на экране калькулятора можно увеличить на его дробную часть. Начав с положительного числа меньшего 1, за 10 нажатий получили число 10. С какого числа начали?
   Решение: Обозначим начальное число как $x_0$. Каждое нажатие преобразует число по формуле:
   $x_{n+1} = x_n + \{x_n\}$, где $\{x_n\}$ — дробная часть числа.
   Для чисел меньше 1: $\{x_n\} = x_n$, значит преобразование становится $x_{n+1} = 2x_n$.
   После 10 преобразований: $x_{10} = 2^{10}x_0 = 1024x_0 = 10$.
   Отсюда $x_0 = \frac{10}{1024} = \frac{5}{512}$.
   Ответ: $\frac{5}{512}$.
   
   
2. Откопав клад из 100 рубинов, каждый из семи Анатолиев схватил столько рубинов, сколько успел. Однако, когда у одного из Анатолиев рубинов меньше, чем у любого другого, он обижается, и все остальные, по их обычаю, должны отдать ему по одному рубину. Докажите, что передел собственности рано или поздно закончится.
   Решение: Рассмотрим два инварианта:
   1. Суммарное количество рубинов постоянно (100).
   2. Минимальное количество рубинов у Анатолиев не убывает.
   При каждом перераспределении минимальное значение увеличивается на 1, а количество обладателей минимального значения уменьшается. Так как рубинов конечное число, процесс не может продолжаться бесконечно. Максимально возможное минимальное значение: $\lfloor \frac{100}{7} \rfloor = 14$. Процесс остановится, когда все Анатолии будут иметь 14 или 15 рубинов.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Есть 720 спичек, разложенных в 100 кучек. Два игрока ходят по очереди. Каждым ходом выбирается кучка, делится на две меньшие части, и эти части сливаются с двумя из оставшихся кучек. Игрок победит, если после его хода во всех кучках станет поровну спичек. Если же после его хода остались всего две кучки, и они не равны, игрок проиграл. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
   Решение: Заметим, что начальное количество спичек $720 = 8 \cdot 90$. Если игрок может создать 8 кучек по 90 спичек, он победит. Первый игрок может разделить любую кучку на две части по 90 спичек и объединить их с другими куками, постепенно выравнивая количество. Так как 720 делится на 8, первый игрок имеет выигрышную стратегию.
   Ответ: Первый игрок.
   
   
4. Сумма трёх натуральных чисел равна 520. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться их произведение?
   Решение: Количество нулей определяется минимальным из показателей степеней 2 и 5 в разложении произведения. Максимизируем количество пар 2-5:
   Возьмём числа 200, 200 и 120. Их сумма 520. Произведение:
   $200 \cdot 200 \cdot 120 = 4\,800\,000$ (5 нулей).
   Разложение: $200 = 2^3 \cdot 5^2$, $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$. Суммарно: $2^9 \cdot 5^5$. Минимум(9,5) = 5.
   Ответ: 5.
   
   
5. В итоговой таблице результатов группового турнира по футболу 4 команды расположились так, что у каждой, начиная со второй, ровно на 1 очко меньше, чем у предыдущей. Восстановите исходы всех матчей.
   Решение: Пусть очки команд: $a, a-1, a-2, a-3$. Сумма очков: $4a - 6$. Так как в 6 матчах разыгрывается $3 \cdot 6 = 18$ очков (все победы), получаем $4a - 6 = 18 \Rightarrow a = 6$. Распределение очков: 6, 5, 4, 3.
   Результаты матчей:
   • Команда A (6 очков): 2 победы, 1 поражение.
   • Команда B (5 очков): 1 победа, 2 ничьи.
   • Команда C (4 очка): 1 победа, 1 ничья, 1 поражение.
   • Команда D (3 очка): 3 ничьи.
   Конкретная реализация: A победила B и C, проиграла D; B сыграла вничью с C и D; C сыграла вничью с D.
   Ответ: A > B, A > C, A < D; B = C, B = D; C = D.