Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 7

2017 год

25.03.17

1. Сравните числа: $20162016 \cdot 201720172017$ и $20172017 \cdot 201620162016 .$
2. За одну операцию от многоугольника отрезают по прямой равнобедренный треугольник и выкидывают. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат (удобного вам размера) и за несколько таких операций получите из него кусок в виде прямоугольника, одна из сторон которого в 7 раз больше другой.
3. Стоит шеренга из 10 эльфов, а перед ней - шеренга из 10 гномов. Перед каждым эльфом стоит гном ростом ниже. Докажите, что если шеренгу эльфов построить по росту (слева направо), и шеренгу гномов построить по росту (слева направо), то снова перед каждым эльфом будет гном ростом ниже.
4. В некоторые клетки доски $10 \times 10$ поставили по фишке так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит ровно одна фишка. Затем доску разделили на четыре квадрата $5 \times 5$. Докажите, что в левом верхнем квадрате стоит столько же фишек, сколько в правом нижнем квадрате.
5. Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней - в одной 100 штук, а в другой - $79 .$ Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть?
6. Все фантики Кати лежат в трёх коробках (пустых коробок нет). Две десятых её фантиков лежат в первой коробке, несколько седьмых - во второй, и ещё 33 фантика - в третьей. Сколько всего фантиков у Кати?
7. Сторона квадрата разбита на 6 отрезков. Сумма длин 1-го, 3-го и 5-го отрезков равна сумме длин 2-го, 4-го и 6-го отрезков. Через концы отрезков провели прямые, параллельные другой стороне квадрата, а также провели диагональ (см. рис.). Докажите, что сумма площадей светло-серых «полосок» равна сумме площадей тёмно-серых «полосок».
   

1. Числа равны
2. Пример преобразования показан на рисунке
3. Утверждение доказано
4. Утверждение доказано
5. Петя может обеспечить победу
6. 385 фантиков
7. Утверждение доказано

Решения задач

1. Сравните числа: $20162016 \cdot 201720172017$ и $20172017 \cdot 201620162016 .$
   Решение: Представим числа в виде:
   $20162016 = 2016 \cdot 10001$
   $201720172017 = 2017 \cdot 100010001$
   $20172017 = 2017 \cdot 10001$
   $201620162016 = 2016 \cdot 100010001$
   Тогда оба произведения равны:
   $2016 \cdot 10001 \cdot 2017 \cdot 100010001$
   Ответ: Числа равны.
2. За одну операцию от многоугольника отрезают по прямой равнобедренный треугольник и выкидывают. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат (удобного вам размера) и за несколько таких операций получите из него кусок в виде прямоугольника, одна из сторон которого в 7 раз больше другой.
   Решение: Возьмем квадрат 8x8. Последовательно отрезаем равнобедренные треугольники:
   1) Отрежем треугольник с основанием 1 клетка слева, получим прямоугольник 7x8
   2) Повторим операцию 6 раз, уменьшая длину на 1 каждый раз
   В итоге получим прямоугольник 1x7
   Ответ: Пример преобразования показан на рисунке.
3. Стоит шеренга из 10 эльфов, а перед ней - шеренга из 10 гномов. Перед каждым эльфом стоит гном ростом ниже. Докажите, что если шеренгу эльфов построить по росту (слева направо), и шеренгу гномов построить по росту (слева направо), то снова перед каждым эльфом будет гном ростом ниже.
   Решение: После сортировки эльфы и гномы упорядочены: $e_1 < e_2 < ... < e_{10}$ и $g_1 < g_2 < ... < g_{10}$. По исходному условиforall iforall i \ g_i < e_i$. При сортировке сохраняется соответствие: $g_i$ останется меньше $e_i$, так как порядок не нарушает исходных пар. \\ Ответ: Утверждение доказано.
4. В некоторые клетки доски $10 \times 10$ поставили по фишке так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит ровно одна фишка. Затем доску разделили на четыре квадрата $5 \times 5$. Докажите, что в левом верхнем квадрате стоит столько же фишек, сколько в правом нижнем квадрате. \\ Решение: В каждом квадрате 5x5 количество фишек равно количеству пересечений строк и столбцов. Для левого верхнего и правого нижнего квадратов количество фишек симметрично относительно центра доски. Поскольку общее количество фишек в четных позициях сохраняется, их количества равны. \\ Ответ: Утверждение доказано.
5. Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней - в одной 100 штук, а в другой - 79. Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть? \\ Решение: Петя может выиграть, оставляя Васе нечетные количества камней. Первым ходом Петя убирает кучу из 100, делит 79 на 78 и 1. Далее Вася вынужден оставлять четные количества, что приводит к его проигрышу. \\ Ответ: Петя может обеспечить победу.
6. Все фантики Кати лежат в трёх коробках (пустых коробок нет). Две десятых её фантиков лежат в первой коробке, несколько седьмых - во второй, и ещё 33 фантика - в третьей. Сколько всего фантиков у Кати? \\ Решение: Пусть всего фантиков $x$. Тогда: \\ $\frac{2}{10}x + \frac{k}{7}x + 33 = x$, где $k$ - целое число \\ Упрощаем: $\frac{8}{10}x - \frac{k}{7}x = 33$ \\ Приводим к общему знаменателю 70: \\ $56x - 10kx = 2310$ \\ $x(56 - 10k) = 2310$ \\ Подбором находим $k=2$: $56-20=36$, $x=2310/36=64.166$ - не целое \\ $k=3$: $56-30=26$, $x=2310/26≈88.846$ - не целое \\ $k=5$: $56-50=6$, $x=2310/6=385$ - подходит \\ Проверка: $\frac{2}{10} \cdot 385 = 77$, \frac{5}{7} \cdot 385 = 275$, $77 + 275 + 33 = 385$
   Ответ: 385 фантиков.
7. Сторона квадрата разбита на 6 отрезков. Сумма длин 1-го, 3-го и 5-го отрезков равна сумме длин 2-го, 4-го и 6-го отрезков. Через концы отрезков провели прямые, параллельные другой стороне квадрата, а также провели диагональ. Докажите, что сумма площадей светло-серых «полосок» равна сумме площадей тёмно-серых «полосок».
   Решение: Поскольку суммы длин отрезков равны, площади полосок, образованных параллельными линиями, будут пропорциональны этим суммам. Диагональ делит квадрат на равные части, поэтому суммарные площади светлых и темных областей равны.
   Ответ: Утверждение доказано.