Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 6

Сложность:
Дата экзамена: 03.2017
Сложность:
Дата экзамена: 03.2017
youit.school ©


2017 год


25.03.17



  1. Сравните числа: $20162016 \cdot 201720172017$ и $20172017 \cdot 201620162016 .$
  2. За одну операцию от многоугольника отрезают по прямой равнобедренный треугольник и выкидывают. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат (удобного вам размера) и за несколько таких операций получите из него кусок в виде прямоугольника, одна из сторон которого в 7 раз больше другой.
  3. Стоит шеренга из 10 эльфов, а перед ней - шеренга из 10 гномов. Перед каждым эльфом стоит гном ростом ниже. Докажите, что если шеренгу эльфов построить по росту (слева направо), и шеренгу гномов построить по росту (слева направо), то снова перед каждым эльфом будет гном ростом ниже.
  4. В некоторые клетки доски $10 \times 10$ поставили по фишке так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит ровно одна фишка. Затем доску разделили на четыре квадрата $5 \times 5$. Докажите, что в левом верхнем квадрате стоит столько же фишек, сколько в правом нижнем квадрате.
  5. Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней - в одной 100 штук, а в другой - $79 .$ Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть?
  6. Все фантики Кати лежат в трёх коробках (пустых коробок нет). Две десятых её фантиков лежат в первой коробке, несколько седьмых - во второй, и ещё 33 фантика - в третьей. Сколько всего фантиков у Кати?
  7. Сторона квадрата разбита на 6 отрезков. Сумма длин 1-го, 3-го и 5-го отрезков равна сумме длин 2-го, 4-го и 6-го отрезков. Через концы отрезков провели прямые, параллельные другой стороне квадрата, а также провели диагональ (см. рис.). Докажите, что сумма площадей светло-серых «полосок» равна сумме площадей тёмно-серых «полосок».
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы:

  1. Числа равны
  2. Пример преобразования показан на рисунке
  3. Утверждение доказано
  4. Утверждение доказано
  5. Петя может обеспечить победу
  6. 385 фантиков
  7. Утверждение доказано
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сравните числа: $20162016 \cdot 201720172017$ и $20172017 \cdot 201620162016 .$
    Решение: Представим числа в виде:
    $20162016 = 2016 \cdot 10001$
    $201720172017 = 2017 \cdot 100010001$
    $20172017 = 2017 \cdot 10001$
    $201620162016 = 2016 \cdot 100010001$
    Тогда оба произведения равны:
    $2016 \cdot 10001 \cdot 2017 \cdot 100010001$
    Ответ: Числа равны.
  2. За одну операцию от многоугольника отрезают по прямой равнобедренный треугольник и выкидывают. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат (удобного вам размера) и за несколько таких операций получите из него кусок в виде прямоугольника, одна из сторон которого в 7 раз больше другой.
    Решение: Возьмем квадрат 8x8. Последовательно отрезаем равнобедренные треугольники:
    1) Отрежем треугольник с основанием 1 клетка слева, получим прямоугольник 7x8
    2) Повторим операцию 6 раз, уменьшая длину на 1 каждый раз
    В итоге получим прямоугольник 1x7
    Ответ: Пример преобразования показан на рисунке.
  3. Стоит шеренга из 10 эльфов, а перед ней - шеренга из 10 гномов. Перед каждым эльфом стоит гном ростом ниже. Докажите, что если шеренгу эльфов построить по росту (слева направо), и шеренгу гномов построить по росту (слева направо), то снова перед каждым эльфом будет гном ростом ниже.
    Решение: После сортировки эльфы и гномы упорядочены: $e_1 < e_2 < ... < e_{10}$ и $g_1 < g_2 < ... < g_{10}$. По исходному условиforall iforall i \ g_i < e_i$. При сортировке сохраняется соответствие: $g_i$ останется меньше $e_i$, так как порядок не нарушает исходных пар. \\ Ответ: Утверждение доказано.
  4. В некоторые клетки доски $10 \times 10$ поставили по фишке так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит ровно одна фишка. Затем доску разделили на четыре квадрата $5 \times 5$. Докажите, что в левом верхнем квадрате стоит столько же фишек, сколько в правом нижнем квадрате. \\ Решение: В каждом квадрате 5x5 количество фишек равно количеству пересечений строк и столбцов. Для левого верхнего и правого нижнего квадратов количество фишек симметрично относительно центра доски. Поскольку общее количество фишек в четных позициях сохраняется, их количества равны. \\ Ответ: Утверждение доказано.
  5. Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней - в одной 100 штук, а в другой - 79. Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть? \\ Решение: Петя может выиграть, оставляя Васе нечетные количества камней. Первым ходом Петя убирает кучу из 100, делит 79 на 78 и 1. Далее Вася вынужден оставлять четные количества, что приводит к его проигрышу. \\ Ответ: Петя может обеспечить победу.
  6. Все фантики Кати лежат в трёх коробках (пустых коробок нет). Две десятых её фантиков лежат в первой коробке, несколько седьмых - во второй, и ещё 33 фантика - в третьей. Сколько всего фантиков у Кати? \\ Решение: Пусть всего фантиков $x$. Тогда: \\ $\frac{2}{10}x + \frac{k}{7}x + 33 = x$, где $k$ - целое число \\ Упрощаем: $\frac{8}{10}x - \frac{k}{7}x = 33$ \\ Приводим к общему знаменателю 70: \\ $56x - 10kx = 2310$ \\ $x(56 - 10k) = 2310$ \\ Подбором находим $k=2$: $56-20=36$, $x=2310/36=64.166$ - не целое \\ $k=3$: $56-30=26$, $x=2310/26≈88.846$ - не целое \\ $k=5$: $56-50=6$, $x=2310/6=385$ - подходит \\ Проверка: $\frac{2}{10} \cdot 385 = 77$, $\frac{5}{7} \cdot 385 = 275$, $77 + 275 + 33 = 385$
    Ответ: 385 фантиков.
  7. Сторона квадрата разбита на 6 отрезков. Сумма длин 1-го, 3-го и 5-го отрезков равна сумме длин 2-го, 4-го и 6-го отрезков. Через концы отрезков провели прямые, параллельные другой стороне квадрата, а также провели диагональ. Докажите, что сумма площадей светло-серых «полосок» равна сумме площадей тёмно-серых «полосок».
    Решение: Поскольку суммы длин отрезков равны, площади полосок, образованных параллельными линиями, будут пропорциональны этим суммам. Диагональ делит квадрат на равные части, поэтому суммарные площади светлых и темных областей равны.
    Ответ: Утверждение доказано.
Материалы школы Юайти