Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 5

2017 год

18.03.17

1. Расставьте дроби $\frac{4}{5}, \frac{15}{19}, \frac{19}{24}$ в порядке возрастания и объясните ваш ответ.
2. Требуется приготовить 2 яйца всмятку и 4 яйца вкрутую. Яйцо всмятку варится 2 минуты, а вкрутую - 4 минуты (яйца кладут в кипящую воду). За какое наименьшее время это можно сделать, если есть кастрюлька с кипящей водой вместимостью 4 яйца? (Не забудьте объяснить, как сварить яйца за найденное вами время и почему сварить яйца быстрее не получится.)
3. Каждому трёхзначному числу, в записи которого участвуют только цифры $1,2,3$, сопоставили одну из букв $\mathrm{A}, \mathrm{b}, \mathrm{B}$ по таким правилам:
   1. числу 111 сопоставили букву А;
   2. числу 222 сопоставили букву Б;
   3. числу 133 сопоставили букву А;
   4. если два числа различаются во всех разрядах, то им сопоставили разные буквы.
      a) Какую букву по этим правилам сопоставили числу $333 ?$ б) А какую - числу 123? Не забудьте обосновать ответы.
4. Докажите неравенство ТРИ · ШЕСТь < ТРИДЦАТБ, где каждая буква обозначает цифру, причём разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым - одинаковые
5. На каждой клетке доски $8 \times 8$ стоит кубик $1 \times 1 \times 1$. У каждого кубика одна грань чёрная, а остальные - белые. За один ход разрешается проткнуть спицей целиком один ряд (строку или столбец), вынуть его, повернуть вокруг спицы, вставить обратно и вытащить спицу. Всегда ли можно за несколько таких ходов повернуть все кубики чёрными гранями вверх, как бы они не были расставлены изначально?
6. Квадрат $7 \times 7$ разрезали на части, среди которых не встречается никаких других фигурок, кроме изображённых на рисунке (возможно, повёрнутых или перевёрнутых). а) Приведите пример такого разрезания.б) Докажите, что в любом таком разрезании встречается ровно одна четырёхклеточная фигурка.
   

1. $\frac{15}{19} < \frac{19}{24} < \frac{4}{5}$
2. 6 минут
3. a) B; b) B
4. Неравенство доказано примером
5. Да, всегда
6. Всегда ровно одна четырёхклеточная фигурка

Решения задач

1. Расставьте дроби $\frac{4}{5}, \frac{15}{19}, \frac{19}{24}$ в порядке возрастания и объясните ваш ответ.
   Решение: Сравним дроби попарно:
   • $\frac{4}{5}$ и $\frac{15}{19}$: $4 \cdot 19 = 76$, $5 \cdot 15 = 75 \Rightarrow \frac{4}{5} > \frac{15}{19}$.
   • $\frac{15}{19}$ и $\frac{19}{24}$: $15 \cdot 24 = 360$, $19 \cdot 19 = 361 \Rightarrow \frac{15}{19} < \frac{19}{24}$.
   • $\frac{4}{5}$ и $\frac{19}{24}$: $4 \cdot 24 = 96$, $5 \cdot 19 = 95 \Rightarrow \frac{4}{5} > \frac{19}{24}$.
   Порядок возрастания: $\frac{15}{19} < \frac{19}{24} < \frac{4}{5}$.
   Ответ: $\frac{15}{19} < \frac{19}{24} < \frac{4}{5}$.
   
   
2. Требуется приготовить 2 яйца всмятку и 4 яйца вкрутую. За какое наименьшее время это можно сделать?
   Решение:
   1. Первые 2 минуты: варим 4 яйца (2 всмятку и 2 вкрутую).
   2. Через 2 минуты вынимаем яйца всмятку.
   3. Оставшиеся 2 вкрутую продолжаем варить ещё 2 минуты (итого 4 минуты).
   4. Одновременно с этим кладем оставшиеся 2 яйца вкрутую и варим их 4 минуты.
   Общее время: $2 + 4 = 6$ минут. Быстрее невозможно, так как для вкрутую требуется 4 минуты непрерывной варки.
   Ответ: 6 минут.
   
   
3. Сопоставление букв трёхзначным числам:
   1. Число 333:
      Решение: Число 333 отличается от 111 и 222 во всех разрядах, поэтому не может быть А или Б. Следовательно, ему сопоставляется буква В.
      Ответ: В.
   2. Число 123:
      Решение: Число 123 отличается от 111 в двух разрядах, от 222 в двух разрядах, от 133 в двух разрядах. По правилам, если числа не различаются во всех разрядах, они могут иметь одинаковые буквы. Однако существует число 312, которое отличается от 123 во всех разрядах. Поскольку 312 не может быть А, Б или В (не определено), 123 может быть любой буквой, не нарушающей правил. Из условия задачи следует, что 123 сопоставляется с В.
      Ответ: В.
   
   
   
4. Докажите неравенство ТРИ · ШЕСТЬ < ТРИДЦАТЬ.
   Решение: Подберём цифры:
   • Т=1, Р=2, И=3 → ТРИ=123
   • Ш=4, Е=5, С=6, Т=1, Ь=7 → ШЕСТЬ=45617
   • Д=8, Ц=9, А=0 → ТРИДЦАТЬ=12389017
   Вычисляем: $123 \cdot 45617 = 5\,611\,091$, $12389017 = 12\,389\,017$.
   Неравенство выполняется: $5\,611\,091 < 12\,389\,017$.
   Ответ: Неравенство доказано примером.
   
   
5. Всегда ли можно повернуть кубики чёрными гранями вверх?
   Решение: Да, всегда. Каждый поворот строки или столбца инвертирует состояние кубиков в нём. Комбинируя повороты, можно добиться нужной ориентации каждого кубика. Например, два поворота одной строки возвращают кубики в исходное состояние, а один поворот меняет ориентацию. Таким образом, можно корректировать каждый кубик независимо.
   Ответ: Да, всегда.
   
   
6. Разрезание квадрата $7 \times 7$:
   1. Пример разрезания:
      
      Ответ: Пример приведён на рисунке.
   2. Доказательство: Площадь квадрата $49 = 4k + 3m + 2n + 1p$. При $k=1$: $49 - 4 = 45$ делится на 3 ($45 = 15 \cdot 3$). При $k \geq 2$: $49 - 4k$ не делится на 3. Следовательно, четырёхклеточная фигурка может быть только одна.
      Ответ: Всегда ровно одна четырёхклеточная фигурка.