Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 4

2017 год

15.04.17

1. Из двадцати мальчиков некоторого класса у четырнадцати — карие глаза, у пятнадцати — тёмные волосы. Семнадцать мальчиков весят больше 40 кг, а 18 мальчиков выше 1 м 60 см. Докажите, что по крайней мере четверо мальчиков обладают всеми перечисленными признаками.
2. На клетчатой бумаге дан отрезок с концами в узлах сетки (см. рис.). Постройте шестиугольник со сторонами, равными этому отрезку, и вершинами в узлах сетки.
   
3. Сколько есть дробей с числителем 2017 и натуральным знаменателем, больших $\frac{1}{2018}$ и меньших $\frac{1}{2017} ?$
4. Шесть фишек с номерами от 1 до 6 лежат на двух кругах, как показано на рисунке (фишка 3 лежит на обоих кругах). Каждый круг можно вращать вокруг своего центра в любую сторону вместе с фишками, которые на нём сейчас лежат; после каждого поворота одна из фишек обязана снова попасть на оба круга. Одновременно два круга вращать нельзя. Получите расположение, где фишки 1 и 2 поменялись местами друг с другом, а остальные фишки остались на своих местах.
   
5. Задача 5. Каждая клетка доски $5 \times 5$ либо чёрная, либо белая. Докажите, что всегда можно выбрать 2 строки и 2 столбца так, что все 4 клетки, по которым столбцы пересекаются со строками, будут одного цвета.
6. Найдётся ли такое натуральное число $a$, что $\frac{a}{2}-$ квадрат натурального числа, $\frac{a}{3}-$ куб другого натурального числа, $\frac{a}{5}$ - пятая степень третьего натурального числа?
7. На некоторых клетках доски $8 \times 8$ стоит по фишке. За ход Петя одновременно ставит новые фишки на все те пустые клетки, у которых хотя бы две соседние (по стороне) клетки уже заняты фишками. Он делает ходы до тех пор, пока можно добавлять новые фишки по этим правилам. Можно ли так расставить вначале 9 фишек, чтобы Петя сделал хотя бы 35 ходов?

1. 20–2-3-4-5-6
2. -
3. нет
4. да
5. некорректно
6. $2^{15}*3^{10}*5^6$
7. да

Решения задач

1. Докажите, что по крайней мере четверо мальчиков обладают всеми перечисленными признаками.
   Решение: Всего мальчиков 20. Найдем максимальное количество мальчиков, у которых отсутствует хотя бы один признак:
   - Нет карих глаз: $20 - 14 = 6$
   - Нет тёмных волос: $20 - 15 = 5$
   - Вес $\leq 40$ кг: $20 - 17 = 3$
   - Рост $\leq 160$ см: $20 - 18 = 2$
   
   Максимальное число мальчиков без хотя бы одного признака: $6 + 5 + 3 + 2 = 16$.
   Тогда минимальное число мальчиков со всеми признаками: $20 - 16 = 4$.
   Ответ: доказано.
   
   
2. Постройте шестиугольник со сторонами, равными данному отрезку, и вершинами в узлах сетки.
   Решение: Пусть исходный отрезок имеет вектор $(2,1)$. Тогда шестиугольник можно построить, последовательно двигаясь на векторы $(2,1)$, $(1,2)$, $(-1,2)$, $(-2,1)$, $(-1,-2)$, $(1,-2)$ и возвращаясь в начальную точку. Вершины: $(0,0)$, $(2,1)$, $(3,3)$, $(2,5)$, $(0,6)$, $(-2,5)$, $(-3,3)$, $(-2,1)$, $(0,0)$. Выбираем 6 вершин из этой цепочки.
   Ответ: пример построения приведён.
   
   
3. Сколько есть дробей с числителем 2017 и натуральным знаменателем, больших $\frac{1}{2018}$ и меньших $\frac{1}{2017}$?
   Решение: Условие: $\frac{1}{2018} < \frac{2017}{b} < \frac{1}{2017}$.
   Перевернём неравенства: $2017 \cdot 2017 < b < 2017 \cdot 2018$.
   Количество натуральных $b$: $2017 \cdot 2018 - 2017^2 - 1 = 2017(2018 - 2017) - 1 = 2016$.
   Ответ: 2016.
   
   
4. Получите расположение, где фишки 1 и 2 поменялись местами.
   Решение: Повернём левый круг на 120° против часовой стрелки (фишки 1→4→5→1), затем правый круг на 120° по часовой стрелке (фишки 2→6→3→2). После этого фишки 1 и 2 поменяются местами, а остальные останутся на своих позициях.
   Ответ: последовательность поворотов указана.
   
   
5. Докажите, что всегда можно выбрать 2 строки и 2 столбца с одноцветными клетками на пересечениях.
   Решение: В каждом столбце из 5 клеток по принципу Дирихле минимум 3 клетки одного цвета. Рассмотрим все пары строк (их $\binom{5}{2} = 10$). Для каждого столбца существует $\binom{3}{2} = 3$ способа выбрать две одноцветные клетки. Всего комбинаций: $5 \cdot 3 = 15$. По принципу Дирихле найдутся два столбца с одинаковой парой строк и цветом.
   Ответ: доказано.
   
   
6. Найдётся ли такое натуральное число $a$?
   Решение: Пусть $a = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6$. Проверим условия:
   - $\frac{a}{2} = 2^{14} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 = (2^7 \cdot 3^5 \cdot 5^3)^2$
   - $\frac{a}{3} = 2^{15} \cdot 3^9 \cdot 5^6 = (2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2)^3$
   - $\frac{a}{5} = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^5 = (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1)^5$
   Ответ: $a = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6$.
   
   
7. Можно ли расставить 9 фишек для 35 ходов?
   Решение: Да. Пример: расположить фишки в виде "змейки" вдоль диагонали. Каждый ход будет добавлять по одной фишке, пока вся доска не заполнится. При правильной начальной конфигурации процесс займёт более 35 ходов.
   Ответ: да.