Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 3

2017 год

10.04.17

1. На клетчатой бумаге нарисовали змею толщиной в одну клетку: тело змеи может поворачивать на 90 градусов, кусок между двумя поворотами - прямой участок толщиной в одну клетку. Змея нигде не касается сама себя. Всего в змее 50 клеток. Можно ли по этим данным восстановить периметр змеи?
2. Найдите все натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} .$
3. По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость лыжников упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?
4. 21 одинаковая монета расположены в виде равностороннего треугольника со стороной 6 , все они лежат орлом вверх. За ход разрешается перевернуть три попарно соседние (касающиеся) монеты. Можно ли перевернуть все монеты решкой вверх за несколько ходов?
5. Поверхность деревянного куба целиком окрасили. Затем куб распилили на несколько одинаковых кубиков. Оказалось, что число кубиков с одной окрашенной гранью равно числу кубиков, у которых все грани неокрашены. На сколько кубиков распилили куб?
6. В олимпиаде участвовали 55 школьников. Все они сдали свои работы. При проверке каждой задачи ставилась одна из трёх оценок: «+»-задача решена, «-»-задачу решал, но она не решена, «0»-задачу не решал. После проверки всех работ оказалось, что ни в каких двух работах не совпало одновременно количество оценок «+» и оценок «-». Какое наименьшее число задач могло быть предложено на олимпиаде?
7. а) Радиолампа имеет 8 контактов, расположенных по кругу через равные промежутки. Лампа втыкается в штепсель, имеюший 8 отверстий, расположенных аналогично. Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал в отверстие с тем же номером? б) А если в лампе 7 контактов, а в штепселе - 7 отверстий?

1. 102
2. (4;4);(3;6);(6;3)
3. 125
4. -
5. 512
6. 9
7. нет;да

Решения задач

1. На клетчатой бумаге нарисовали змею толщиной в одну клетку. Всего в змее 50 клеток. Можно ли по этим данным восстановить периметр змеи?
   Решение: Периметр змеи можно вычислить по формуле:
   $P = 2 \cdot (n + 1)$, где $n$ — количество клеток.
   Для $n = 50$:
   $P = 2 \cdot (50 + 1) = 102$ клетки.
   Ответ: 102.
2. Найдите все натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$.
   Решение: Преобразуем уравнение:
   $\frac{y + x}{xy} = \frac{1}{2} \Rightarrow xy - 2x - 2y = 0 \Rightarrow (x - 2)(y - 2) = 4$.
   Натуральные делители 4: $(1, 4), (2, 2), (4, 1)$.
   Получаем решения:
   $(x, y) = (3, 6), (4, 4), (6, 3)$.
   Ответ: $(3;6)$, $(4;4)$, $(6;3)$.
3. По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость лыжников упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?
   Решение: Расстояние между лыжниками пропорционально их скорости. Новое расстояние:
   $500 \cdot \frac{9}{12}$м.
   Изменение расстояния: $500 - 375 = 125$ м.
   Ответ: 125.
4. 21 монета расположены в виде равностороннего треугольника. Можно ли перевернуть все монеты решкой вверх за несколько ходов?
   Решение: Каждый ход меняет количество орлов на нечётное число. Начальное количество орлов (21) — нечётное. Чтобы получить 0 орлов (чётное), требуется чётное число ходов. Однако 21 делится на 3, но изменение чётности невозможно.
   Ответ: Нет.
5. Число кубиков с одной окрашенной гранью равно числу кубиков без окрашенных граней. Найти количество кубиков.
   Решение: Пусть куб разбит на $n^3$ кубиков. Тогда:
   Кубики с одной гранью: $6(n-2)^2$.
   Кубики без окрашенных граней: $(n-2)^3$.
   Условие: $6(n-2)^2 = (n-2)^3 \Rightarrow n-2 = 6 \Rightarrow n = 8$.
   Общее количество кубиков: $8^3 = 512$.
   Ответ: 512.
6. Наименьшее число задач на олимпиаде, чтобы условия выполнились.
   Решение: Количество уникальных пар $(+, -)$ должно быть не менее 55. Для $k$ задач:
   $\frac{(k+1)(k+2)}{2} \geq 55 \Rightarrow k = 9$.
   Ответ: 9.
7. 1. Для 8 контактов: Невозможно избежать совпадения при любом повороте.
   2. Для 7 контактов: Возможно, используя свойства нечётных циклов.
   Ответ: а) Нет; б) Да.