Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 3
youit.school ©
2017 год
10.04.17
- На клетчатой бумаге нарисовали змею толщиной в одну клетку: тело змеи может поворачивать на 90 градусов, кусок между двумя поворотами - прямой участок толщиной в одну клетку. Змея нигде не касается сама себя. Всего в змее 50 клеток. Можно ли по этим данным восстановить периметр змеи?
- Найдите все натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} .$
- По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость лыжников упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?
- 21 одинаковая монета расположены в виде равностороннего треугольника со стороной 6 , все они лежат орлом вверх. За ход разрешается перевернуть три попарно соседние (касающиеся) монеты. Можно ли перевернуть все монеты решкой вверх за несколько ходов?
- Поверхность деревянного куба целиком окрасили. Затем куб распилили на несколько одинаковых кубиков. Оказалось, что число кубиков с одной окрашенной гранью равно числу кубиков, у которых все грани неокрашены. На сколько кубиков распилили куб?
- В олимпиаде участвовали 55 школьников. Все они сдали свои работы. При проверке каждой задачи ставилась одна из трёх оценок: «+»-задача решена, «-»-задачу решал, но она не решена, «0»-задачу не решал. После проверки всех работ оказалось, что ни в каких двух работах не совпало одновременно количество оценок «+» и оценок «-». Какое наименьшее число задач могло быть предложено на олимпиаде?
- а) Радиолампа имеет 8 контактов, расположенных по кругу через равные промежутки. Лампа втыкается в штепсель, имеюший 8 отверстий, расположенных аналогично. Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал в отверстие с тем же номером? б) А если в лампе 7 контактов, а в штепселе - 7 отверстий?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы:
- 102
- (4;4);(3;6);(6;3)
- 125
- -
- 512
- 9
- нет;да
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- На клетчатой бумаге нарисовали змею толщиной в одну клетку. Всего в змее 50 клеток. Можно ли по этим данным восстановить периметр змеи?
Решение: Периметр змеи можно вычислить по формуле:
$P = 2 \cdot (n + 1)$, где $n$ — количество клеток.
Для $n = 50$:
$P = 2 \cdot (50 + 1) = 102$ клетки.
Ответ: 102. - Найдите все натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$.
Решение: Преобразуем уравнение:
$\frac{y + x}{xy} = \frac{1}{2} \Rightarrow xy - 2x - 2y = 0 \Rightarrow (x - 2)(y - 2) = 4$.
Натуральные делители 4: $(1, 4), (2, 2), (4, 1)$.
Получаем решения:
$(x, y) = (3, 6), (4, 4), (6, 3)$.
Ответ: $(3;6)$, $(4;4)$, $(6;3)$. - По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость лыжников упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?
Решение: Расстояние между лыжниками пропорционально их скорости. Новое расстояние:
$500 \cdot \frac{9}{12}$м.
Изменение расстояния: $500 - 375 = 125$ м.
Ответ: 125. - 21 монета расположены в виде равностороннего треугольника. Можно ли перевернуть все монеты решкой вверх за несколько ходов?
Решение: Каждый ход меняет количество орлов на нечётное число. Начальное количество орлов (21) — нечётное. Чтобы получить 0 орлов (чётное), требуется чётное число ходов. Однако 21 делится на 3, но изменение чётности невозможно.
Ответ: Нет. - Число кубиков с одной окрашенной гранью равно числу кубиков без окрашенных граней. Найти количество кубиков.
Решение: Пусть куб разбит на $n^3$ кубиков. Тогда:
Кубики с одной гранью: $6(n-2)^2$.
Кубики без окрашенных граней: $(n-2)^3$.
Условие: $6(n-2)^2 = (n-2)^3 \Rightarrow n-2 = 6 \Rightarrow n = 8$.
Общее количество кубиков: $8^3 = 512$.
Ответ: 512. - Наименьшее число задач на олимпиаде, чтобы условия выполнились.
Решение: Количество уникальных пар $(+, -)$ должно быть не менее 55. Для $k$ задач:
$\frac{(k+1)(k+2)}{2} \geq 55 \Rightarrow k = 9$.
Ответ: 9. -
- Для 8 контактов: Невозможно избежать совпадения при любом повороте.
- Для 7 контактов: Возможно, используя свойства нечётных циклов.
Материалы школы Юайти