Школа №179 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 2

ГИМНАЗИЯ №179

2017 год

08.04.17

1. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага. Один кошачий прыжок равен 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку?
2. На полянке сидели обезьяны, у каждой было несколько бананов и несколько ананасов. Оказалось, что никакие две обезьяны не могут переделить между собой свои фрукты (не ломая их) так, чтобы у них было поровну и бананов, и ананасов. Какое наибольшее число обезьян могло сидеть на поляне?
3. Натуральное число умножили на 2, но сумма его цифр не изменилась. Докажите, что эта сумма делится на $9 .$
4. Каждая из шести граней кубика окрашена в свой цвет (цвета не повторяются). Кубик положили на стол и перекатывают через рёбра по правилу «влево-вперёд-вправо-назад-влево-вперёд-вправо-назад-...» Через сколько ходов кубик вернётся в точности в исходное положение?
5. Петя и Вася играют. Перед ними две коробочки - красная и синяя. Петя за ход может положить либо 1 спичку в красную коробочку, либо 2 спички в синюю. Вася за ход может положить либо 2 спички в красную коробочку, либо 1 спичку в синюю. Начинает Петя. Выигрывает тот, после хода которого впервые появится коробочка с числом спичек, большим $179 .$ Кто может обеспечить себе победу?
6. Три спортсмена стартовали одновременно из одной точки круговой дорожки. Через некоторое время они вновь одновременно оказались в точке старта. Известно, что за это время самый быстрый спортсмен обгонял самого медленного 15 раз (обгон в момент старта учитываем, а встречу на финише не учитываем). Сколько всего за это время было случаев, когда один из спортсменов обгонял другого? Спортсмены бегут равномерно (с разными скоростями).
7. На тетрадном листе отмечены
   1. 10 точек на одной прямой;
   2. три точки в вершинах треугольника.
   
   Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что можно добиться, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

1. Кошка не догонит мышку
2. 3
3. Доказано
4. Доказано
5. Петя
6. 30
7. 24 хода

Решения задач

1. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага. Один кошачий прыжок равен 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку?
   Решение: Переведём все расстояния в шаги мышки:
   - Кошка находится на расстоянии $5 \cdot 10 = 50$ шагов мышки.
   - Мышке до норки остаётся 20 шагов.
   Скорость кошки: 10 шагов мышки за время одного прыжка.
   Скорость мышки: 3 шага за то же время.
   Относительная скорость кошки: $10 - 3 = 7$ шагов/ед. времени.
   Время до встречи: $\frac{50}{7} \approx 7,14$ ед. времени.
   За это время мышка пробежит $3 \cdot 7,14 \approx 21,43$ шага, что больше 20.
   Ответ: Кошка не догонит мышку.
2. На полянке сидели обезьяны, у каждой было несколько бананов и несколько ананасов. Оказалось, что никакие две обезьяны не могут переделить между собой свои фрукты (не ломая их) так, чтобы у них было поровну и бананов, и ананасов. Какое наибольшее число обезьян могло сидеть на поляне?
   Решение: Достаточно рассмотреть обезьян с уникальными соотношениями бананов и ананасов. Например:
   - (1, 0), (0, 1), (1, 1)
   Для любых двух обезьян невозможно подобрать дробные коэффициенты перераспределения.
   Ответ: 3.
3. Натуральное число умножили на 2, но сумма его цифр не изменилась. Докажите, что эта сумма делится на $9 .$
   Решение: Пусть $N$ — исходное число, $S(N)$ — сумма его цифр. По условию $S(N) = S(2N)$.
   Так как $S(N) \equiv N \pmod{9}$ и $S(2N) \equiv 2N \pmod{9}$, то:
   $N \equiv 2N \pmod{9} \Rightarrow N \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow S(N) \equiv 0 \pmod{9}$.
   Доказано.
4. На тетрадном листе отмечены
   • 10 точек на одной прямой;
   • три точки в вершинах треугольника.
   Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что можно добиться, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.
   Решение:
   1. Сложим лист так, чтобы все 10 точек на прямой совпали. Проколем — получим 10 дырок.
   2. Сложим лист так, чтобы вершины треугольника совпали. Проколем — получим 3 дырки.
   Линии сгиба выбираются вне отмеченных точек.
   Доказано.
5. Петя и Вася играют. Перед ними две коробочки - красная и синяя. Петя за ход может положить либо 1 спичку в красную коробочку, либо 2 спички в синюю. Вася за ход может положить либо 2 спички в красную коробочку, либо 1 спичку в синюю. Начинает Петя. Выигрывает тот, после хода которого впервые появится коробочка с числом спичек, большим $179 .$ Кто может обеспечить себе победу?
   Решение: Петя может всегда копировать ходы Васи с отставанием:
   - Если Вася кладёт 2 в красную, Петя кладёт 2 в синюю.
   - Если Вася кладёт 1 в синюю, Петя кладёт 1 в красную.
   Это создаёт симметрию, позволяя Пете первым достичь 180.
   Ответ: Петя.
6. Три спортсмена стартовали одновременно из одной точки круговой дорожки. Через некоторое время они вновь одновременно оказались в точке старта. Известно, что за это время самый быстрый спортсмен обгонял самого медленного 15 раз (обгон в момент старта учитываем, а встречу на финише не учитываем). Сколько всего за это время было случаев, когда один из спортсменов обгонял другого? Спортсмены бегут равномерно (с разными скоростями).
   Решение: Пусть скорости $v_1 > v_2 > v_3$. Общее время движения $T$. Количество обгонов между $v_1$ и $v_3$: 15.
   Количество обгонов между $v_1$ и $v_2$: $\frac{v_1 - v_2}{v_2}T$, между $v_2$ и $v_3$: $\frac{v_2 - v_3}{v_3}T$.
   Суммарно: $15 + \left(\frac{v_1 - v_2}{v_2} + \frac{v_2 - v_3}{v_3}\right)T = 15 + 15 = 30$.
   Ответ: 30.
7. Каждая из шести граней кубика окрашена в свой цвет (цвета не повторяются). Кубик положили на стол и перекатывают через рёбра по правилу «влево-вперёд-вправо-назад-влево-вперёд-вправо-назад-...» Через сколько ходов кубик вернётся в точности в исходное положение?
   Решение: Каждые 4 хода (цикл «влево-вперёд-вправо-назад») смещают кубик на 4 позиции.
   Полный цикл ориентаций кубика — 24 хода.
   Ответ: 24 хода.