Школа №179 из 6 в 7 класс 2016 год вариант 1

Школа № 179

2016 год

20.04.2016

1. На столе стоят двое песочных часов, первые из которых отмеряют 3 минуты, а вторые — 7 минут. Можно ли с помощью этих часов отмерить ровно 11 минут?
2. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев?
3. Анатолий тратил одну купюру на булку и кефир. Внезапно цены выросли на $20\%$. На ту же купюру Анатолий смог купить половину булки и кефир. И вот цены опять выросли на 20\%. Хватит ли той же купюры на кефир?
4. Злая Королева разложила на столе 100 одинаковых фишек. Каждая фишка покрашена с одной стороны синей краской, а с другой — красной. Ровно 10 фишек лежат красной стороной вверх, остальные — синей. Королева завязала глаза Алисе, размешала фишки на столе, не меняя сторон, и приказала разделить фишки на две части, в каждой из которых будет одинаковое число фишек, лежащих красной стороной вверх. Как Алисе выполнить приказ Злой Королевы?
5. Клетки квадрата \(9\times9\) окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся либо клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, либо клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).
6. Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник и шестиугольник с вершинами в узлах сетки так, чтобы периметр и площадь треугольника были равны соответственно периметру и площади шестиугольника.
7. Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров рёбер, сходящихся в ней, была одинаковой?

Решения задач

1. На столе стоят двое песочных часов, первые отмеряют 3 минуты, а вторые — 7 минут. Можно ли с помощью этих часов отмерить ровно 11 минут?
   Решение: Запустим одновременно 3-минутные и 7-минутные часы. Через 3 минуты перевернём 3-минутные. Через 7 минут (когда закончатся 7-минутные) в 3-минутных останется 4 минуты песка снизу. Перевернём 7-минутные и дождёмся, пока оставшиеся 4 минуты в 3-минутных часах истекут. После этого в 7-минутных пройдёт 4 минуты сверху вниз. Итого: 7 + 4 = 11 минут.
   Ответ: Да, можно.
   
   
2. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев?
   Решение: Разложим 1664 на множители: $1664 = 2^7 \cdot 13$. Учтём условие: младший брат вдвое младше старшего. Подходящие комбинации: $13$, $8$, $8$, $2$ (т.к. $13 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2 = 1664$). Старшему 13 лет, младшему 2 года.
   Ответ: 4 брата.
   
   
3. После первого повышения цен на 20% Анатолий смог купить половину булки и кефир. После второго повышения на 20% хватит ли купюры на кефир?
   Решение: Пусть изначально булка стоила $B$ руб., кефир — $K$ руб. Тогда:
   Первоначально: $B + K = C$.
   После первого повышения: $1,2B + 1,2K = 1,2C$. По условию, $0,5 \cdot 1,2B + 1,2K = C$. Подставляем $C = B + K$:
   $0,6B + 1,2K = B + K \implies K = 2B$.
   После второго повышения: кефир стоит $1,44K = 1,44 \cdot 2B = 2,88B$. Первоначальная купюра: $C = 3B$.
   $2,88B < 3B \implies$ хватит.
   Ответ: Да, хватит.
   
   
4. Разделить 100 фишек на две части с одинаковым числом красных сторон.
   Решение: Алисе нужно взять любые 10 фишек и перевернуть их. Если среди этих 10 было $k$ красных сторон, то после переворота станет $10 - k$ красных. В оставшихся 90 фишках будет $10 - k$ красных сторон. Таким образом, в обеих группах количество красных сторон совпадёт.
   Ответ: Взять 10 фишек, перевернуть их, отделить от остальных.
   
   
5. Доказать существование клетки с двумя красными или двумя белыми соседями по углу.
   Решение: Рассмотрим клетки внутри квадрата $7 \times 7$ (исключая крайние). У каждой такой клетки 4 угловых соседа. Всего $7 \cdot 7 = 49$ клеток. Предположим, что нет клеток с ровно двумя красными соседями. Тогда возможные варианты: 0, 1, 3 или 4 красных соседа. Суммарное количество красных угловых пар будет нецелым, что противоречит чётности. Аналогично для белых. Следовательно, такие клетки существуют.
   Ответ: Доказано.
   
   
6. Нарисовать треугольник и шестиугольник с равными периметром и площадью.
   Решение: Пример треугольника: прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (периметр 12, площадь 6). Шестиугольник можно построить как «лесенку» с периметром 12 и площадью 6:
   Ответ: Примеры возможны.
   
   
7. Можно ли занумеровать рёбра куба числами от 1 до 12 с одинаковыми суммами в вершинах?
   Решение: Сумма всех номеров рёбер: $1+2+\dots+12 = 78$. Каждое ребро входит в две вершины, поэтому общая сумма по всем вершинам: $2 \cdot 78 = 156$. Для 8 вершин средняя сумма: $\frac{156}{8} = 19,5$ — не целое.
   Ответ: Нет, нельзя.