Школа №179 из 6 в 7 класс 2016 год вариант 1

Школа № 179

2016 год

13.04.2016

1. Витя выложил из карточек пример на сложение, затем поменял местами две карточки, и получилось \[ 314159 + 291828 = 585787. \] Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?
   
   
2. У Ефима есть коллекция из 100 замечательных камней весом от 1 до 100 кг. На какое наименьшее число кучек их можно разделить так, чтобы ни в одной кучке не было двух камней, один из которых весит в 2 раза больше другого?
   
   
3. Дано 5 натуральных чисел, больших 1 и меньших 81, причём у любых двух из них нет общих делителей, кроме 1. Докажите, что среди них обязательно есть простое число.
   
   
4. На столе стоят 10 тарелок с борщом. Ефим и Фома играют в игру «Съешь борщ». За один ход можно съесть суп либо из одной тарелки, либо из двух соседних. Проигрывает тот, кому нечего есть. Каким должен начинать Ефим, если очень хочет выиграть?
   
   
5. Четыре пирата нашли клад, состоящий из монет достоинством 1, 2, 5 и 10 дублонов. Они договорились, что каждый заберёт себе все монеты какого‑то одного достоинства. Монет достоинством 1 дублон в пять раз больше, чем монет достоинством 5 дублонов и 10 дублонов вместе, а монет достоинством 2 дублона столько же, сколько всех остальных вместе. Первым берёт клад главный. Монеты какого достоинства ему выгоднее забирать?
   
   
6. На прямой отметили несколько точек. Потом между каждыми двумя соседними отмечали по одной точке. Так сделали 3 раза и получилось 113 точек. Сколько точек было вначале?
   
   
7. Если посмотреть на аквариум спереди, то траектория рыбки такая, как показано на левом рисунке. Если посмотреть справа — то как на правом. Нарисуйте вид этой траектории сверху.
   

Решения задач

1. Витя поменял местами карточки с цифрами 8 во втором слагаемом и 5 в результате. Первоначальный пример выглядел как: \[ 314159 + 291826 = 585785. \] После перестановки цифр получилось \(314159 + 291828 = 585787\), где равенство нарушилось.
   Ответ: Переставлены цифры 5 и 8.
   
   
2. Камни можно разделить на 7 кучек. Максимальная длинна цепочки умножения на 2 среди чисел от 1 до 100 равна 7 (например, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64). Каждая кучка соответствует позиции в цепочке, чтобы избежать пар \(x\) и \(2x\).
   Ответ: 7.
   
   
3. Предположим, все числа составные. Тогда каждое содержит как минимум два уникальных простых множителя. Но простых чисел до 80 недостаточно для пяти составных чисел с попарно разными простыми множителями. Противоречие. Следовательно, среди чисел есть простое.
   Ответ: Доказательство проведено.
   
   
4. Ефиму следует начать с того, чтобы съесть две соседние центральные тарелки (5 и 6). Далее зеркалить ходы Фомы. Например, если Фома ест \(k\) тарелок с одной стороны, Ефим делает то же на противоположной. Последний ход останется за Ефимом.
   Ответ: Съесть две средние тарелки.
   
   
5. Из условий \(a = 5(c + d)\) и \(b = a + c + d = 6(c + d)\), сумма монет достоинством 2 дублона равна \(12(c + d)\), что больше сумм других достоинств (например, \(10d\) или \(5c\)). Главному выгодно выбрать 2 дублона.
   Ответ: 2 дублона.
   
   
6. Пусть изначально было \(n\) точек. После трёх операций получим последовательность \(n \rightarrow 2n - 1 \rightarrow 4n - 3 \rightarrow 8n - 7\). Решив \(8n - 7 = 113\), находим \(n = 15\).
   Ответ: 15.
   
   
7. Вид сверху траектории представляет собой квадрат, разделённый на четыре части с диагоналями. Точки пересечения диагоналей соответствуют положениям рыбки при разных углах зрения.
   Ответ: Квадрат с диагоналями.