Школа №179 из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1567

2024 год

14.04.2024

1. Сравните числа: \[ 2024202424024 \cdot 202320232023023 \quad \text{и} \quad 202320232023023 \cdot 2024202420242024 \]
2. Сколько существует шестизначных натуральных чисел, в записи которых найдутся две стоящие рядом одинаковые цифры?
   
   
3. Изначально в корзине было несколько яблок. Далее каждым ходом из корзины забирали либо \( \frac{1}{3} \) всех имеющихся в ней яблок, либо \( \frac{1}{7} \), либо \( \frac{1}{12} \) всех яблок. После нескольких ходов в корзине осталось 26 яблок. Сколько яблок было в корзине изначально? (Укажите все возможные варианты, докажите что они возможны, и докажите что все другие невозможны. Разумеется, после каждого хода количество яблок в корзине было целым числом.)
   
   
4. Вася расставляет ферзей в клетках шахматной доски \(8 \times 8\). Он заметил, что при любой расстановке всех ферзей, которые есть у Васи, найдётся 4 ферзя, которые стоят на 4 соседних клетках по горизонтали. Какое наименьшее количество ферзей могло быть у Васи?
   
   
5. На листке бумаги нарисовали 3 квадрата, размеры всех квадратов различаются. Все вершины этих квадратов отметили. Могло ли оказаться так, что отмечено меньше, чем 9 точек?
   
   
6. В таблице \(179 \times 179\) каждая клетка окрашена в один из 2024 цветов. За один ход разрешается перекрасить все клетки некоторого столбца или некоторой строки в тот цвет, который уже есть в этом столбце или этой строке до перекрашивания (либо не меньше, чем цвет каждой из предыдущих клеток — если таких цветов несколько, можно выбрать любой). Верно ли, что при любой начальной раскраске можно за несколько ходов перекрасить всю таблицу в один цвет?

1. \(202320232023023 \cdot 2024202420242024 > 2024202424024 \cdot 202320232023023\)
2. 368559
3. 39
4. 25
5. Да, могло
6. Верно

Решения задач

1. Сравните числа: \[ 2024202424024 \cdot 202320232023023 \quad \text{и} \quad 202320232023023 \cdot 2024202420242024 \] Решение: Заметим, что оба произведения содержат множитель \(202320232023023\). Второй множитель первого произведения \(2024202424024\) меньше второго множителя второго произведения \(2024202420242024\) (недостающие цифры в середине). Следовательно, второе произведение больше.
   Ответ: \(202320232023023 \cdot 2024202420242024 > 2024202424024 \cdot 202320232023023\).
   
   
2. Сколько существует шестизначных натуральных чисел, в записи которых найдутся две стоящие рядом одинаковые цифры?
   Решение: Общее количество шестизначных чисел: \(900\,000\) (от \(100\,000\) до \(999\,999\)). Вычтем количество чисел без соседних одинаковых цифр. Первая цифра — 9 вариантов, каждая следующая — 9 (исключая предыдущую). Всего: \(9 \cdot 9^5 = 531\,441\). Искомое количество: \(900\,000 - 531\,441 = 368\,559\).
   Ответ: 368559.
   
   
3. Изначально в корзине было несколько яблок. Далее каждым ходом из корзины забирали либо \( \frac{1}{3} \), либо \( \frac{1}{7} \), либо \( \frac{1}{12} \) всех яблок. Послелось лось лось 26 яблок. Сколько яблок было в корзине изначально?
   Решение: Рассмотрим обратный ход. Пусть перед последним действием было \(x\) яблок. Тогда: \[ x \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) = 26 \quad (k \in \{3,7,12\}) \] Проверяя возможные \(k\), находим: - При \(k=3\): \(x = 39\) (целое). - Другие \(k\) дают нецелые \(x\). Проверяем предыдущие шаги для \(x=39\): аналогично получаем, что исходное количество могло быть только \(39\) (один ход с \(k=3\)).
   Ответ: 39.
   
   
4. Вася расставляет ферзей в клетках шахматной доски \(8 \times 8\). Какое наименьшее количество ферзей могло быть у Васи, чтобы в любой расстановке нашлись 4 ферзя на соседних клетках по горизонтали?
   Решение: По принципу Дирихле: если ферзей больше \(3 \cdot 8 = 24\), то на одной из 8 горизонталей будет хотя бы 4 ферзя. Минимальное количество: \(24 + 1 = 25\).
   Ответ: 25.
   
   
5. На листке бумарисовали рисовали 3 квадрата, размеры всех квадратов различаются. Все вершины этих квадратов отметили. Могло ли оказаться так, что отмечено меньше, чем 9 точек?
   Решение: Да, возможно. Пример: три квадрата с общими вершинами. Например, два квадрата имеют общую сторону, третий — пересекается с ними в вершинах. Минимальное количество точек: 8 (например, квадраты с вершинами в точках \((0,0)\), \((1,0)\), \((1,1)\), \((0,1)\); \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\), \((0,2)\); \((0,0)\), \((0,2)\), \((-2,2)\), \((-2,0)\)).
   Ответ: Да, могло.
   
   
6. В таблице \(179 \times 179\) каждая клетка окрашена в один из 2024 цветов. Верно ли, что при любой начальной раскраске можно за несколько ходов перекрасить всю таблицу в один цвет?
   Решение: Да. Выберем любой существующий цвет \(C\) в таблице. Перекрасим все строки и столбцы, содержащие \(C\), в этот цвет. Постепенно расширяя область \(C\), можно покрыть всю таблицу.
   Ответ: Верно.