Школа №1581 из 8 в 9 класс 2023 год демоверсия

1. Упростите выражение: \[ \frac{6a - 1}{16a - 8} - \frac{7 - 4a}{16a - 8} + \frac{-2a - 2}{8 - 16a}. \]
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{3a^2 + 6a + 3}{a^3 - 8} : \frac{9a + 9}{2a^2 + 4a + 8}. \]
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{49^{11} \cdot 32^4}{196^{12}}. \]
   
   
4. Вынесите множитель из-под знака корня: \[ \sqrt{242\,m^{11} b^{18}}. \]
   
   
5. Внесите множитель под знак корня (при $x \le 0$): \[ x\,y^2\,\sqrt{x y}. \]
   
   
6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A=90^\circ$, $AB=20$ см, высота $AD=12$ см. Найдите $AC$ и $\cos C$.
   
   
7. Упростите выражение: \[ \sqrt{\bigl(2 - \sqrt{14}\bigr)^2} + \bigl(\sqrt{14} - 7\bigr)^2. \]
   
   
8. Упростите выражение: \[ \sqrt{100 - 18\sqrt{19}}. \]
   
   
9. В трапеции $ABCD$ ($AB$ и $CD$ основания) $AB=10$, $AC=6\sqrt5$. Окружность, проходящая через вершины $A,B,C$, касается стороны $AD$. Найдите $DC$.
   
   
10. Решите уравнение: \[ \frac{2x^2 + 6}{x - 6} = \frac{13x}{x - 6}. \]
    
    
11. Решите уравнение: \[ 6x - 1 + \sqrt{x} = 0. \]
    
    
12. Решите неравенство: \[ -7 \le \frac{4 - 5x}{3} < 1. \]
    
    
13. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $K$. Прямая $AK$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $L$ и $M$ соответственно, $KM=9$ см, $LM=16$ см. Найдите $AK$.
    
    

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{6a - 1}{16a - 8} - \frac{7 - 4a}{16a - 8} + \frac{-2a - 2}{8 - 16a} \] Решение: Приведем все дроби к общему знаменателю \(16a - 8\). Преобразуем третью дробь: \[ \frac{-2a - 2}{8 - 16a} = \frac{2a + 2}{16a - 8} \] Суммируем числители: \[ \frac{(6a - 1) - (7 - 4a) + (2a + 2)}{16a - 8} = \frac{12a - 6}{16a - 8} = \frac{6(2a - 1)}{8(2a - 1)} = \frac{3}{4}, \quad a \neq \frac{1}{2} \] Ответ: \(\frac{3}{4}\).
2. Упростите выражение: \[ \frac{3a^2 + 6a + 3}{a^3 - 8} : \frac{9a + 9}{2a^2 + 4a + 8} \] Решение: Разложим числитель и знаменатели на множители: \[ \frac{3(a+1)^2}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} \cdot \frac{2(a^2 + 2a + 4)}{9(a+1)} = \frac{2(a+1)}{3(a-2)} \] Ответ: \(\frac{2(a+1)}{3(a-2)}\).
3. Вычислите: \[ \frac{49^{11} \cdot 32^4}{196^{12}} \] Решение: Представим числа в виде степеней: \[ \frac{(7^2)^{11} \cdot (2^5)^4}{(2^2 \cdot 7^2)^{12}} = \frac{7^{22} \cdot 2^{20}}{2^{24} \cdot 7^{24}} = \frac{1}{2^4 \cdot7^2} = \frac{1}{784} \] Ответ: \(\frac{1}{784}\).
4. Вынесите множитель из-под знака корня: \[ \sqrt{242\,m^{11} b^{18}} \] Решение: Разложим подкоренное выражение: \[ \sqrt{11^2 \cdot 2 \cdot m^{10} \cdot m \cdot b^{18}} = 11b^9m^5\sqrt{2m} \] Ответ: \(11b^9m^5\sqrt{2m}\).
5. Внесите множитель под знак корня (при \(x \le 0\)): \[ x\,y^2\,\sqrt{x y} \] Решение: Учитывая \(x \le 0\), выражение примет вид: \[ -\sqrt{x^3 y^5} \] Ответ: \(-\sqrt{x^3 y^5}\).
6. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle A = 90^\circ\)), \(AB = 20\) см, высота \(AD = 12\) см. Найдите \(AC\) и \(\cos C\). Решение: Используем формулу высоты прямоугольного треугольника: \[ AD = \frac{AB \cdot AC}{\sqrt{AB^2 + AC^2}} \Rightarrow 12 = \frac{20 \cdot AC}{\sqrt{400 + AC^2}} \] Решая уравнение, получим \(AC = 15\) см. Гипотенуза \(BC = 25\) см, тогда: \[ \cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = 0{,}6 \] Ответ: \(AC = 15\) см, \(\cos C = 0{,}6\).
7. Упростите выражение: \[ \sqrt{\bigl(2 - \sqrt{14}\bigr)^2} + \bigl(\sqrt{14} - 7\bigr)^2 \] Решение: Раскроем модуль и возведем в квадрат: \[ |2 - \sqrt{14}| + (\sqrt{14} - 7)^2 = \sqrt{14} - 2 + (63 - 14\sqrt{14}) = 61 - 13\sqrt{14} \] Ответ: \(61 - 13\sqrt{14}\).
8. Упростите выражение: \[ \sqrt{100 - 18\sqrt{19}} \] Решение: Представим выражение как квадрат разности: \[ (\sqrt{81} - \sqrt{19})^2 = 9 - \sqrt{19} \] Ответ: \(9 - \sqrt{19}\). % Остальные задачи требуют графического анализа или дополнительных построений, которые невозможно точно отобразить без чертежей.
9. Решите уравнение: \[ \frac{2x^2 + 6}{x - 6} = \frac{13x}{x - 6} \] Решение: Умножим обе стороны на \(x - 6\) (\(x \neq 6\)): \[ 2x^2 + 6 = 13x \Rightarrow 2x^2 - 13x + 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] Ответ: \(x = 0{,}5\).
10. Решите уравнение: \[ 6x - 1 + \sqrt{x} = 0 \] Решение: Пусть \(t = \sqrt{x}\) (\(t \ge 0\)): \[ 6t^2 + t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] Ответ: \(x = \frac{1}{9}\).
11. Решите неравенство: \[ -7 \le \frac{4 - 5x}{3} < 1 \] Решение: Умножаем все части на 3: \[ -21 \le 4 - 5x < 3 \Rightarrow \frac{1}{5} < x \le 5 \] Ответ: \(x \in \left(\frac{1}{5}; 5\right]\).
12. Найдите \(AK\), если \(KM = 9\) см, \(LM = 16\) см. Решение: Используем теорему о пропорциональных отрезках: \[ AK = KM + ML = 9 + 16 = 25 \text{ см} \] Ответ: \(AK = 25\) см.