Школа №1581 из 5 в 6 класс 2023 год демоверсия

1. Вычислите:
   1. \[ \bigl(6\tfrac{7}{12} + 8\tfrac{5}{12}\bigr) - 7\tfrac{16}{21} - 4\tfrac{6}{21}; \]
   2. \[ 208{,}6 - 3{,}612 \colon \bigl(0{,}015 + 0{,}075 \cdot 5{,}4\bigr) \quad\text{или}\quad \frac{7}{30} - \Bigl(3\tfrac{2}{15} - 1\tfrac{5}{12}\Bigr). \]
   
   
   
2. Решите уравнения: $$\begin{aligned} &32{,}4 \colon \bigl(7{,}06x - 101{,}2\bigr)\,\cdot1{,}8 = 1{,}458, \\ &\text{или}\quad \bigl(x + \tfrac{8}{9}\bigr) - 2\tfrac{13}{18} = 1\tfrac{5}{6}. \end{aligned}$$
   
   
3. Решите задачу с помощью уравнения:
   Вариант 1. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) вышел электропоезд. Через \(0{,}4\) ч из пункта \(B\) в пункт \(A\) вышел скорый поезд со скоростью в \(1{,}4\) раза большей, чем скорость электропоезда. Через \(1{,}8\) ч после выхода скорого поезда они встретились. Найдите скорости этих поездов, если расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(304,44\) км.
   Вариант 2. Из двух сел, расстояние между которыми равно \(28\) км, одновременно выехали два автомобиля, удаляясь друг от друга в противоположных направлениях. Скорость одного из них была \(58\tfrac{1}{3}\) км/ч. На сколько она превышает скорость второго автомобиля, если через \(1\) час после начала движения расстояние между ними составило \(142\tfrac{1}{2}\) км?
   
   
4. Решите задачу:
   Объём шкатулки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен \(240\) см³. Площадь основания равна \(80\) см², площадь большей боковой стенки — \(30\) см². Найдите площадь полной поверхности шкатулки.
   
   
5. Решите задачу:
   Бабушке \(54\) года, а внучке \(10\) лет. Через сколько лет бабушка будет вдвое старше внучки?
   
   
6. При каких \(x\) верно равенство: \[ \frac{3x - 5}{3} \;=\; \frac{2}{6}? \]

Решения задач

1. Вычислите:
   1. \[ \bigl(6\tfrac{7}{12} + 8\tfrac{5}{12}\bigr) - 7\tfrac{16}{21} - 4\tfrac{6}{21} \] Решение: \[ \bigl(6\tfrac{7}{12} + 8\tfrac{5}{12}\bigr) = 15 \] \[ 15 - 7\tfrac{16}{21} - 4\tfrac{6}{21} = 15 - 12\tfrac{1}{21} = 2\tfrac{20}{21} \] Ответ: \boxed{2\tfrac{20}{21}}.
   2. \[ 208{,}6 - 3{,}612 \colon \bigl(0{,}015 + 0{,}075 \cdot 5{,}4\bigr) \quad \text{или} \quad \frac{7}{30} - \Bigl(3\tfrac{2}{15} - 1\tfrac{5}{12}\Bigr) \] Решение первого варианта: \[ 0{,}075 \cdot 5{,}4 = 0{,}405 \] \[ 0{,}015 + 0{,}405 = 0{,}42 \] \[ 3{,}612 \colon 0{,}42 = 8{,}6 \] \[ 208{,}6 - 8{,}6 = 200 \] Ответ: \boxed{200}. Решение второго варианта: \[ 3\tfrac{2}{15} = \frac{47}{15}, \quad 1\tfrac{5}{12} = \frac{17}{12} \] \[ \frac{47}{15} - \frac{17}{12} = \frac{103}{60} = 1\tfrac{43}{60} \] \[ \frac{7}{30} - 1\tfrac{43}{60} = -\frac{89}{60} = -1\tfrac{29}{60} \] Ответ: \boxed{-1\tfrac{29}{60}}.
   
   
   
2. Решите уравнения: \begin{align*} &32{,}4 \colon \bigl(7{,}06x - 101{,}2\bigr) \cdot 1{,}8 = 1{,}458 \\ &\text{или} \quad \bigl(x + \tfrac{8}{9}\bigr) - 2\tfrac{13}{18} = 1\tfrac{5}{6} \end{align*} Решение первого уравнения: \[ \frac{32{,}4 \cdot 1{,}8}{7{,}06x - 101{,}2} = 1{,}458 \] \[ 58{,}32 = 1{,}458 \cdot (7{,}06x - 101{,}2) \] \[ 7{,}06x - 101{,}2 = 40 \] \[ x = \frac{141{,}2}{7{,}06} = 20 \] Ответ: \boxed{20}. Решение второго уравнения: \[ \bigl(x + \tfrac{8}{9}\bigr) - 2\tfrac{13}{18} = 1\tfrac{5}{6} \] \[ x + \tfrac{8}{9} = 1\tfrac{5}{6} + 2\tfrac{13}{18} \] \[ x = \tfrac{41}{9} - \tfrac{8}{9} = 3\tfrac{2}{3} \] Ответ: \boxed{3\tfrac{2}{3}}.
   
   
3. Решите задачу с помощью уравнения: Вариант 1. Пусть скорость электропоезда \(x\) км/ч. Тогда: \[ 0{,}4x + (1{,}8x + 1{,}8 \cdot 1{,}4x) = 304{,}44 \] \[ 0{,}4x + 4{,}32x = 304{,}44 \] \[ x = \frac{304{,}44}{4{,}72} = 64{,}5 \text{ км/ч} \] Скорость скорого поезда: \[ 1{,}4 \cdot 64{,}5 = 90{,}3 \text{ км/ч} \] Ответ: \boxed{64{,}5 \text{ км/ч}} и \boxed{90{,}3 \text{ км/ч}}. Вариант 2. Пусть скорость второго автомобиля \(x\) км/ч. Тогда: \[ 58\tfrac{1}{3} + x = 142\tfrac{1}{2} - 28 \] \[ \tfrac{175}{3} + x = \tfrac{285}{2} - \tfrac{84}{2} \] \[ x = \tfrac{337}{6} = 56\tfrac{1}{6} \] Разница скоростей: \[ 58\tfrac{1}{3} - 56\tfrac{1}{6} = 2\tfrac{1}{6} \] Ответ: \boxed{2\tfrac{1}{6} \text{ км/ч}}.
4. Решите задачу:
   Пусть измерения шкатулки \(a\), \(b\), \(c\). Тогда: \[ a \cdot b = 80,\quad a \cdot c = 30,\quad a \cdot b \cdot c = 240 \] \[ c = \frac{240}{80} = 3,\quad a = 10,\quad b = 8 \] Полная поверхность: \[ 2(80 + 8 \cdot 3 + 10 \cdot 3) = 268 \] Ответ: \boxed{268 \text{ см²}}.
5. Решите задачу:
   Пусть через \(x\) лет: \[ 54 + x = 2(10 + x) \] \[ x = 34 \] Ответ: \boxed{34 \text{ года}}.
6. При каких \(x\) верно равенство: \[ \frac{3x - 5}{3} = \frac{1}{3} \] \[ 3x - 5 = 1 \] \[ x = 2 \] Ответ: \boxed{2}.