8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1580 из 9 в 10 класс 2019 вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА


2019 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение: \[ \left(\frac{y^\frac{1}{2} + y^-\frac{1}{2}}{2}\right)^{-2} \;:\; \left( \frac{y^\frac{1}{2} + 1}{y^\frac{1}{2} - 1} + \frac{y^\frac{1}{2} - 1}{y^\frac{1}{2} + 1} \right). \]
  2. Решите уравнение: \[ x^2 - 2x + \bigl|5x - 6\bigr| = 22. \]
  3. Углы при стороне \(AB\) вписанного треугольника \(ABC\) равны \(63^\circ\) и \(37^\circ\). Найдите угол между прямой \(AB\) и касательной к окружности, проведённой в точке \(C\).
  4. Решите неравенство: \[ 2\bigl|x+1\bigr| - 4,5 \;\ge\; \frac{5 - 4\bigl|x+1\bigr|}{6}. \]
  5. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям, и пересекающая боковые стороны в точках \(A\) и \(B\). Найти отрезок \(AB\), если основания трапеции равны 3 и 9.
  6. На 120 км пробега первый автомобиль расходует на 5 л меньше, чем второй автомобиль. При этом на 1 л бензина второй автомобиль проходит на 4 км меньше, чем первый. Сколько километров проходит каждый автомобиль, затрачивая по 10 л бензина?
  7. Найдите область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\,1 + \frac{1}{2 - 6x}} \;-\; \frac{1}{\sqrt{19x - 20x^2 - 3}}. \]
  8. Решите уравнение \[ x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots = \frac{3 - x}{5x}, \] зная, что левая часть представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  9. В треугольнике \(ABC\) с целочисленными сторонами известно, что \(\cos A = \tfrac{3}{4}\), а стороны \(AB\) и \(BC\) равны 5 см и 4 см соответственно. Найдите площадь треугольника \(ABC\) и радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
  10. Найдите все пары \((x,y)\), для которых выполняется неравенство \[ 12x - 2x^2 - 13 \;\ge\; \sqrt{\,3y^2 - 24y + 73\,}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \left(\frac{y^\frac{1}{2} + y^{-\frac{1}{2}}{2}\right)^{-2} : \left(\frac{y^\frac{1}{2} + 1}{y^\frac{1}{2} - 1} + \frac{y^\frac{1}{2} - 1}{y^\frac{1}{2} + 1}\right) \] Решение:
    Преобразуем каждую часть выражения отдельно.
    • Первая часть: \[ \left(\frac{y^\frac{1}{2} + y^{-\frac{1}{2}}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{y^\frac{1}{2} + \frac{1}{y^\frac{1}{2}}}{2}\right)^{-2} = \frac{4y}{(y + 1)^2} \]
    • Вторая часть (сумма дробей): \[ \frac{y^\frac{1}{2} + 1}{y^\frac{1}{2} - 1} + \frac{y^\frac{1}{2} - 1}{y^\frac{1}{2} + 1} = \frac{2(y^2 + 1)}{y - 1} \]
    Объединяя результаты: \[ \frac{4y}{(y + 1)^2} : \frac{2(y^2 + 1)}{y - 1} = \frac{2y(y - 1)}{(y + 1)^3} \] Ответ: \(\frac{2y(y - 1)}{(y + 1)^3}\).

  2. Решите уравнение: \[ x^2 - 2x + |5x - 6| = 22 \] Решение:
    Раскроем модуль на двух интервалах.
    • При \(5x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{6}{5}\): \[ x^2 + 3x - 28 = 0 \Rightarrow x = 4 \text{ (подходит)} \]
    • При \(5x - 6 < 0 \Rightarrow x < \frac{6}{5}\): \[ x^2 - 7x - 16 = 0 \Rightarrow x = \frac{7 - \sqrt{113}}{2} \text{ (подходит)} \]
    Ответ: \(x = 4\) и \(x = \frac{7 - \sqrt{113}}{2}\).

  3. Найдите угол между прямой \(AB\) и касательной к окружности в точке \(C\) треугольника \(ABC\), где угол \(CAB = 63^\circ\), угол \(CBA = 37^\circ\):
    Решение:
    Угол между касательной и хордой \(AB\) равен углу \(ACB\) треугольника \(ABC\). \[ \angle ACB = 180^\circ - 63^\circ - 37^\circ = 80^\circ \] Ответ: \(80^\circ\).

  4. Решите неравенство: \[ 2|x+1| - 4,5 \geq \frac{5 - 4|x+1|}{6} \] Решение:
    Умножим обе части на 6: \[ 12|x+1| - 27 \geq 5 - 4|x+1| \Rightarrow 16|x+1| \geq 32 \Rightarrow |x+1| \geq 2 \] Ответ: \(x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)\).

  5. Найдите отрезок \(AB\) в трапеции с основаниями 3 и 9:
    Решение:
    Отрезок через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям трапеции равен среднему гармоническому оснований: \[ AB = \frac{2 \cdot 3 \cdot 9}{3 + 9} = \frac{54}{12} = 4,5 \] Ответ: \(4,5\).

  6. Определите расстояние автомобилей на 10 л бензина:
    Решение:
    Пусть первый автомобиль проходит \(x\) км на 1 л, тогда второй — \(x - 4\) км. Уравнение расхода: \[ \frac{120}{x - 4} - \frac{120}{x} = 5 \Rightarrow x = 12 \text{ км/л} \] Ответ: первый автомобиль — \(120\) км, второй — \(80\) км.

  7. Найдите область определения функции: \[ f(x) = \sqrt{1 + \frac{1}{2 - 6x}} - \frac{1}{\sqrt{19x - 20x^2 - 3}} \] Решение:
    \[ \begin{cases} \frac{3 - 6x}{2 - 6x} \geq 0 \\ 19x - 20x^2 - 3 > 0 \\ \end{cases} \Rightarrow x \in (0,2; \frac{1}{3}) \cup [0,5; 0,75) \] Ответ: \(x \in (0,2; \frac{1}{3}) \cup [0,5; 0,75)\).

  8. Решите уравнение суммы геометрической прогрессии: \[ x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{3 - x}{5x} \] Решение:
    Сумма прогрессии при \(|x| < 1\): \[ \frac{x}{1 - x} = \frac{3 - x}{5x} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] Ответ: \(x = \frac{1}{2}\).

  9. Найдите площадь и радиус описанной окружности треугольника \(ABC\):
    Решение:
    По теореме косинусов находим \(AC = 6\). Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4} \] Радиус окружности: \[ R = \frac{5 \cdot 4 \cdot 6}{4 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}} = \frac{8\sqrt{7}}{7} \] Ответ: площадь \(\frac{15\sqrt{7}}{4}\) см\(^2\), радиус \(\frac{8\sqrt{7}}{7}\) см.

  10. Решите неравенство: \[ 12x - 2x^2 - 13 \geq \sqrt{3y^2 - 24y + 73} \] Решение:
    Левая часть максимум \(5\), правая минимум \(5\). Единственная пара: \[ \begin{cases} 12x - 2x^2 - 13 = 5 \\ 3y^2 - 24y + 73 = 25 \\ \end{cases} \Rightarrow x = 3, y = 4 \] Ответ: \((3, 4)\).

Материалы школы Юайти