Лицей №1580 из 9 в 10 класс 2012 вариант 1
Печать
youit.school ©
ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА
2012 год
Март
- Вычислите: \[ \frac{x + 1}{x^3 + x^2 + x} \;:\; \frac{1}{x^4 - x} \;-\; x^2. \]
- Решите неравенство: \[ (x - 2)^2 \;>\; (5 - 2x)^2 \;-\; 8. \]
- Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 + 6x + 9} = 0. \]
- В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) боковая сторона \(AB = 8\), а \(\cos A = \frac{\sqrt7}{4}\). Найдите высоту, проведённую к основанию \(AC\).
- Решите уравнение: \[ 3x^2 + 10x = |x - 1| - 7. \]
- Длины оснований трапеции равны 6 и 8. Найдите длину отрезка, соединяющего середины её диагоналей.
- Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 12. Найдите сумму тринадцати первых членов этой прогрессии.
- Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
\tfrac{1}{x}\;\le\;\tfrac{1}{5},\\
|x|\;\le\;5.
\end{cases}
\]
- Аквариум наполняется водой через две трубы за 3 ч. За сколько часов может наполнить аквариум первая труба, если ей требуется на $2{,}5$ ч меньше, чем второй?
- При каком значении параметра \(a\) параболы
\[
y = 3x^2 + 2ax - 1
\quad\text{и}\quad
y = ax^2 - 5x + 8
\]
пересекаются в точке с абсциссой \(x_0 = 3\)?
- Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, если известно, что хорда окружности, удалённая от её центра на расстояние 3, равна 8.
- Через концы дуги окружности в \(120^\circ\) проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Вычислите длину этой вписанной окружности, если радиус исходной окружности равен \(2\sqrt3\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{x + 1}{x^3 + x^2 + x} \;:\; \frac{1}{x^4 - x} \;-\; x^2.
\]
Решение:
Упростим выражение:
\begin{align}
\frac{x + 1}{x(x^2 + x + 1)} \cdot (x(x^3 - 1)) - x^2 &= \frac{(x+1)(x^3 - 1)}{x^2 + x + 1} - x^2 \\
&= \frac{(x+1)(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} - x^2 = x^2 - 1 - x^2 = -1.
\end{align}
Ответ: \(-1\).
- Решите неравенство:
\[
(x - 2)^2 \;>\; (5 - 2x)^2 \;-\; 8.
\]
Решение:
Раскроем квадраты:
\[
x^2 - 4x + 4 > 4x^2 - 20x + 25 - 8.
\]
Переносим все слагаемые влево:
\[
-3x^2 + 16x - 13 > 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 16x + 13 < 0.
\]
Корни уравнения \(3x^2 -16x +13 = 0\):
\[
x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 156}}{6} = \frac{16 \pm 10}{6} \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{13}{3}.
\]
Решение неравенства:
\[
x \in \left(1; \frac{13}{3}\right).
\]
Ответ: \(1 < x < \frac{13}{3}\).
- Решите уравнение:
\[
\frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 + 6x + 9} = 0.
\]
Решение:
Числитель равен нулю:
\[
x^2 - 2x - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \quad \text{или} \quad x = -3.
\]
Знаменатель не равен нулю, исключаем \(x = -3\).
Ответ: \(5\).
- Высота в равнобедренном треугольнике:
Решение:
Из \(\cos A = \frac{\sqrt7}{4}\) находим сторону \(AC\) по теореме косинусов:
\[
AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt7}{4} = 128 - 64\sqrt7.
\]
Высота \(h\) из теоремы Пифагора:
\[
h = \sqrt{8^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{64 - 32 + 16\sqrt7} = \sqrt{32 + 16\sqrt7}.
\]
Ответ: \(\sqrt{32 + 16\sqrt7}\).
- Решите уравнение:
\[
3x^2 + 10x = |x - 1| - 7.
\]
Решение:
Разберем два случая:
Случай 1: \(x \ge 1\): \[ 3x^2 +10x = x -1 -7 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 +9x +6 = 0 \quad \Rightarrow \quad Нет корней. \]
Случай 2: \(x < 1\): \[ 3x^2 +10x = -x +1 -7 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 +11x +6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3}, \quad x = -3. \] Ответ: \(-\frac{2}{3}\); \(-3\).
- Длина отрезка в трапеции:
Решение:
Средняя линия трапеции равна \(\frac{6 + 8}{2} =7\). Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований:
\[
\frac{8 -6}{2} =1.
\]
Ответ: \(1\).
- Сумма членов арифметической прогрессии:
Решение:
\begin{align}
a_5 + a_9 &= 2a_1 +12d =12, \\
S_{13} &= \frac{13}{2}(2a_1 +12d) = \frac{13}{2} \cdot 12 =78.
\end{align}
Ответ: \(78\).
- Система неравенств:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} \le \frac{1}{5}, \\
|x| \le5.
\end{cases}
\]
Решение:
Первое неравенство: \(x \ge5\) при \(x >0\); второе неравенство: \(-5 \le x \le5\). Пересечение: \(x=5\).
Ответ: \(5\).
- Время наполнения аквариума:
Решение:
Пусть первая труба наполняет за \(t\) часов, тогда вторая за \(t +2,5\):
\[
\frac{1}{t} + \frac{1}{t +2,5} = \frac{1}{3}.
\]
Решая уравнение, получим \(t =5\).
Ответ: \(5\).
- Значение параметра \(a\):
Решение:
Подставим \(x=3\) в уравнения парабол:
\[
27 +6a -1 =9a -15 +8 \quad \Rightarrow \quad 26 +6a =9a -7 \quad \Rightarrow \quad a=11.
\]
Ответ: \(11\).
- Периметр треугольника:
Решение:
Радиус окружности \(R =\sqrt{3^2 +4^2} =5\). Сторона вписанного треугольника \(5\sqrt3\), периметр \(15\sqrt3\).
Ответ: \(15\sqrt3\).
- Длина вписанной окружности: Решение: Радиус вписанной окружности \(r = R \sin60^\circ =2\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt3}{2} =3\). Длина окружности \(2\pi r =6\pi\). Ответ: \(6\pi\).
Материалы школы Юайти