Лицей №1580 из 9 в 10 класс 2012 вариант 1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2012 год

Май

1. Вычислите: \[ 6 - 4\bigl(\tfrac{5}{16}\bigr)^{0}\bigr)^{-2} +\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{-1} +\tfrac{3}{4}. \]
2. Решите неравенство: \[ \frac{5}{x - 2} \;\ge\;\frac{6}{x + 3}. \]
3. Решите уравнение: \[ (x^2 - 25)\,\sqrt{4 - x} = 0. \]
4. В треугольнике \(ABC\)\, \(AC=BC\), \(AB=16\), \(\cos A = \tfrac{8}{17}\). Найдите высоту \(CH\).
5. Решите уравнение: \[ 2(x - 3)^2 + \lvert x - 3\rvert - 3 = 0. \]
6. Угол при вершине \(A\) ромба \(ABCD\) равен \(20^\circ\). Точки \(M\) и \(N\) — основания перпендикуляров из вершины \(B\) на стороны \(AD\) и \(CD\). Найдите углы треугольника \(BMN\).
7. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2.
8. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \lvert x + 2\rvert \ge 1,\\ x^2 + 6x + 5 \le 0. \end{cases} \]
9. Теплоход проходит по течению реки до пункта \(B\), удалённого на 160 км, делает стоянку 2 ч и возвращается в \(A\). Скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч; обратный путь занимает ровно 20 ч после отплытия. Найдите скорость течения \(v\) (км/ч).
10. Найдите все \(a\), при которых прямая \(y = 2x - 5\) имеет с параболой \(y = x^2 + 2x - 1\) ровно одну общую точку, а прямая \(y = -2 - x\) имеет с той же параболой две общие точки.
11. В равнобедённом треугольнике \(ABC\) (\(AB=BC\)) биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) в отношении \(BD=2\), \(DC=4\). Найдите длину \(AD\). Определите радиус вписанной в угол окружности, касающейся сторон длины 1 и 2 на дуге \(120^\circ\).

Решения задач

1. Вычислите: \[ 6 - 4\left(\left(\frac{5}{16}\right)^0\right)^{-2} + \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} + \frac{3}{4} \] Решение: \[ \left(\frac{5}{16}\right)^0 = 1 \implies \left(1\right)^{-2} = 1 \] \[ -\frac{2}{3}^{-1} = -\frac{3}{2} \] \[ 6 - 4 \cdot 1 - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = 6 - 4 - 1,5 + 0,75 = 1,25 \implies \frac{5}{4} \] Ответ: $\frac{5}{4}$.
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{5}{x - 2} \ge \frac{6}{x + 3} \] Решение: \[ \frac{5}{x - 2} - \frac{6}{x + 3} \ge 0 \implies \frac{-x + 27}{(x - 2)(x + 3)} \ge 0 \] Корни числителя: $x = 27$. Знаменатель: $x = 2$, $x = -3$. Метод интервалов даёт решение: $-3 < x < 2$, $x \ge 27$. Ответ: $x \in (-3; 2) \cup [27; +\infty)$.
   
   
3. Решите уравнение: \[ (x^2 - 25)\sqrt{4 - x} = 0 \] Решение: \[ x^2 - 25 = 0 \implies x = \pm 5; \quad \sqrt{4 - x} = 0 \implies x = 4 \] ОДЗ: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$. Подходит $x = -5$, $x = 4$. Ответ: $-5$; $4$.
   
   
4. В треугольнике $ABC$ ($AC=BC$, $AB=16$, $\cos A = \frac{8}{17}$) найти высоту $CH$. Решение: \[ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \frac{15}{17} \] Из $\triangle ACH$: \[ AC = \frac{AH}{\cos A} = \frac{8}{\frac{8}{17}} = 17 \] Высота: \[ CH = AC \cdot \sin A = 17 \cdot \frac{15}{17} = 15 \] Ответ: $15$.
   
   
5. Решите уравнение: \[ 2(x - 3)^2 + |x - 3| - 3 = 0 \] Решение: Замена $y = |x - 3|$: \[ 2y^2 + y - 3 = 0 \implies y = 1 \text{ (т.к. } y \ge 0\text{)} \] \[ |x - 3| = 1 \implies x = 2;\,4 \] Ответ: $2$; $4$.
   
   
6. Углы треугольника $BMN$ в ромбе $ABCD$ ($\angle A = 20^\circ$): Решение: Треугольник $BMN$ — равнобедренный с углами $\angle BMN = 20^\circ$, $\angle BNМ = \angle BNM = 80^\circ$. Ответ: $20^\circ$, $80^\circ$, $80^\circ$.
   
   
7. Сумма двузначных чисел, дающих остаток 2 при делении на 3: Решение: Арифметическая прогрессия: $11$, $14$, ..., $98$. \[ n = 30,\quad S = \frac{(11 + 98) \cdot 30}{2} = 1635 \] Ответ: $1635$.
   
   
8. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x + 2| \ge 1,\\ x^2 + 6x + 5 \le 0 \end{cases} \] Решение: \[ |x + 2| \ge 1 \implies x \le -3 \text{ или } x \ge -1;\quad x^2 + 6x + 5 \le 0 \implies x \in [-5; -1] \] Пересечение: $x \in [-5; -3]$. Ответ: $x \in [-5; -3]$.
   
   
9. Скорость течения реки: Решение: Уравнение времени: \[ \frac{160}{18 + v} + \frac{160}{18 - v} + 2 = 20 \implies v = 2 \] Ответ: $2$ км/ч.
   
   
10. Найдите все $a$: Решение: Прямая $y = 2x - 5$ и парабола $y = x^2 + 2x - 1$ не пересекаются. Для $y = -x - 2$ уравнение $x^2 + 3x + 1 = 0$ имеет два корня. Ответ: Любое $a$, удовлетворяющее условиям отсутствия касания для первой прямой.
    
    
11. Длина $AD$ в треугольнике $ABC$: Решение: По теореме Стюарта для $AD$: \[ AD = \sqrt{AB \cdot AC - BD \cdot DC} = \sqrt{6 \cdot 12 - 2 \cdot 4} = \sqrt{72 - 8} = 8 \] Ответ: $8$.