Школа №1580 из 8 в 9 класс 2019 вариант 1

ЛИЦЕЙ №1580

2009 год

Вариант 1

1. Решите уравнение \[ (3x - 1)(3x + 1) \;-\; (2x - 5)^2 \;+\; 1 \;=\; 0. \]
2. Упростите выражение \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8} + 2} \;-\; \frac{6 - \sqrt{32}}{\sqrt{8} - 3}. \]
3. Найдите наибольшее целое число, удовлетворящее неравенству \[ \frac{12}{5}\Bigl(-\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\Bigr) \;-\; \frac{4 - x}{6} \;>\; \frac{2x + 7}{5}. \]
4. Три подруги-ученицы: отличница Белова, хорошистка Чернова и троечница Рыжова собирались на дискотеку. Вдруг черноволосая заметила: «Одна из нас имеет белые волосы, другая черноволосая, а третья – рыжая. Но ни у одной из нас цвет волос не совпадает с фамилией». «Да, ты права», – поддержала отличница. Какого цвета волосы были у хорошистки?
5. Упростите выражение \[ \frac{b^2 - 4}{2b^2 - 5b + 2} \;-\; \frac{2b - 1}{b^2} \;-\; \frac{1}{b}. \]
6. Поле было убрано двумя комбайнами, при этом первый из них работал 12 ч, а второй 15 ч. За сколько часов каждым из комбайнов можно убрать это поле, если первому потребовалось бы для этого на 11 ч меньше, чем второму?
7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AC\) равен 12, \(\angle B = 30^\circ\). Найдите длину высоты \(CK\), проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе.
8. В параллелограмме \(ABCD\) проведены перпендикуляры \(BE\) и \(DF\) к диагонали \(AC\). Докажите, что отрезки \(BF\) и \(DE\) равны.
9. Найдите высоту трапеции, если её боковые стороны равны \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{7}\), а основания равны 3 и 6.
10. Постройте график функции \[ y = \begin{cases} \displaystyle \frac{(x^2 - 4x + 4)(4x - 4)}{x^2 - 3x + 2}, & x \le 3,\\[8pt] -2x + 10, & x > 3. \end{cases} \] Укажите, при каком значении \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком только одну общую точку.

Решения задач

1. Решите уравнение $(3x - 1)(3x + 1) - (2x - 5)^2 + 1 = 0$.
   Решение: Раскроем скобки и упростим выражение:
   $9x^2 -1 - (4x^2 -20x +25) +1 = 0$
   $9x^2 -1 -4x^2 +20x -25 +1 = 0$
   $5x^2 +20x -25 =0 \quad |:5$
   $x^2 +4x -5 =0$
   $D = 16 +20 =36$
   $x = \frac{-4 \pm6}{2}$
   $x_{1}=1$, $x_{2}=-5$
   Ответ: $-5$; $1$.
   
   
2. Упростите выражение $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}+2} - \frac{6-\sqrt{32}}{\sqrt{8}-3}$.
   Решение: Приведем к удобному виду:
   $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
   Первая дробь: $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2} = \frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$ (домножив на $\sqrt{2}-1$)
   Вторая дробь: $\frac{6-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-3} = \frac{(6-4\sqrt{2})(2\sqrt{2}+3)}{(2\sqrt{2})^2-9} = \frac{2}{-1} = -2$
   Итоговое выражение: $\frac{2-\sqrt{2}}{2} - (-2) = \frac{2-\sqrt{2}+4}{2} = \frac{6-\sqrt{2}}{2}$
   Ответ: $\frac{6-\sqrt{2}}{2}$.
   
   
3. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $\frac{12}{5}(-\frac{x}{2}+\frac{1}{3}) - \frac{4-x}{6} > \frac{2x+7}{5}$.
   Решение: Освободимся от знаменателей, умножив на 30:
   $12 \cdot 6(-x/2 +1/3) -5(4-x) >6(2x +7)$
   $-36x +24 -20 +5x >12x +42$
   $-31x +4 >12x +42$
   $-43x >38$
   $x < -\frac{38}{43}$
   Наибольшее целое: $-1$.
   Ответ: $-1$.
   
   
4. Установим цвет волос Черновой. Рассуждаем по логическим условиям:
   - Белова (отличница) не может быть белой - Чернова (хорошистка) не может быть черной - Рыжова (троечница) не может быть рыжей
   Возможные варианты:
   Белова ⇒ рыжая || черная Чернова ⇒ рыжая || белая Рыжова ⇒ белая || черная
   Из условия "поддержала отличница" → Белова черноволосая (единственный вариант), тогда Чернова — рыжая, Рыжова — белая.
   Ответ: Рыжие.
   
   
5. Упростите выражение $\frac{b^2-4}{2b^2-5b+2} - \frac{2b-1}{b^2} - \frac{1}{b}$.
   Решение: Разложим знаменатели:
   $2b^2-5b+2 = (2b-1)(b-2)$
   Упрощаем первое слагаемое: $\frac{(b-2)(b+2)}{(2b-1)(b-2)} = \frac{b+2}{2b-1}$
   Общий знаменатель $(2b-1)b^2$: $\frac{(b+2)b^2 - (2b-1)^2 - b(2b-1)}{(2b-1)b^2}$ Упрощение числителя дает: $b^2$, окончательный ответ: $\frac{1}{b}$.
   Ответ: $\frac{1}{b}$.
   
   
6. Пусть первый комбайн убирает поле за $x$ часов, второй за $x+11$ часов.
   Условие: $\frac{12}{x} + \frac{15}{x+11} =1$
   Решаем уравнение: $12(x+11) +15x = x(x+11)$ $x^2-16x-132=0$ $D=784$, $x=\frac{16+28}{2}=22$
   Ответ: первый за 22 ч, второй за 33 ч.
   
   
7. В прямоугольном треугольнике $AC=12$, угол $B=30^\circ$. Найдем гипотенузу $AB=24$ (против угла 30°).
   Высота $CK$ из прямого угла: $CK = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 \cdot 12\sqrt{3}}{24} =6\sqrt{3}$
   Ответ: $6\sqrt{3}$.
   
   
8. В параллелограмме $ABCD$ докажем равенство отрезков $BF$ и $DE$.
   Треугольники $ABE$ и $CDF$ равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, $BE=DF$, $AE=CF$, откуда $EF$ — общая. Треугольники $BEF$ и $DFE$ равны ⇒ $BF=DE$.
   Ответ: Доказано.
   
   
9. Высота трапеции найдется через теорему Пифагора для боковых сторон.
   Пусть высота $h$, проекции боковых сторон на большее основание: $x$ и $6-3-x =3-x$.
   $\begin{cases} h^2 + (3+x)^2 =7 \\ h^2 + (3-x)^2 =5 \end{cases}$ Вычитая уравнения: $12x=2$ ⇒ $x=\frac{1}{6}$ Тогда $h^2 =5 -(3-\frac{1}{6})^2 =\frac{5}{36}$ ⇒ $h=\frac{\sqrt5}{6}$. Ответ: $\frac{\sqrt5}{6}$ cm.
   
   
10. Построение графика: При $x \le 3$ упростим функцию: $\frac{(x-2)^2(4x-4)}{(x-1)(x-2)} =4(x-2)$ ⇒ $y=4x-8$ при $x \neq1,2$. При $x>3$: $y=-2x+10$. Особые точки: пересечение в $x=3$ ($4*3-8=4$ и $-2*3+10=4$). Прямая $y=m$ пересекает график единожды при $m=4$.
    Ответ: $m=4$.