Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2008 год вариант 3

1. Упростите выражение: \[ \bigl(a - 8 + \tfrac{32a}{a-8}\bigr)\cdot\bigl(8 + a - \tfrac{32a}{8+a}\bigr) - a^2. \]
   
   
2. Упростите выражение, разложив числитель и знаменатель на множители, и вычислите его при $c=-1$: \[ \frac{ac - 2bc + 2a - 4b}{2a - 4b - ac + 2bc}. \]
   
   
3. В первом кинотеатре на 20% рядов больше, чем во втором, а в каждом ряду первого кинотеатра на 10% посадочных мест больше, чем во втором. На сколько процентов число кресел в первом кинотеатре больше, чем во втором?
   
   
4. Расстояние между двумя посёлками $A$ и $B$ по реке равно 40 км. Моторная лодка проходит этот путь по течению за 4 ч, а обратно против течения — за 5 ч. Определите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
   
   
5. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{3} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{3x - 5}{4}. \]
   
   
6. Дан прямой угол $ABC$. Прямая $k$ пересекает луч $BA$ и составляет с ним угол $33^\circ$. Прямая $m$ пересекает луч $BC$ и параллельна $k$. Какой угол составляет $m$ с $BC$?
   
   
   
   
7. На одной стороне угла величиной $32^\circ$ с вершиной $A$ выбраны точки $A_1$ и $A_3$, а на другой — точки $A_2$ и $A_4$, так что $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4$. Найдите угол $AA_4A_3$.
   
   
   
   
8. Вопросы для устного опроса:
   • Какая фигура называется треугольником?
   • Какие треугольники называются равными? Признаки равенства треугольников.
   • Что называется высотой (медианой, биссектрисой) треугольника?
   
   
   

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \left(a - 8 + \frac{32a}{a-8}\right) \cdot \left(8 + a - \frac{32a}{8+a}\right) - a^2. \]
   Решение: Упростим каждую скобку отдельно. Первая скобка: \[ a - 8 + \frac{32a}{a-8} = \frac{(a-8)^2 + 32a}{a-8} = \frac{a^2 - 16a + 64 + 32a}{a-8} = \frac{a^2 + 16a + 64}{a-8} = \frac{(a + 8)^2}{a - 8} \] Вторая скобка: \[ 8 + a - \frac{32a}{8+a} = \frac{(8 + a)^2 - 32a}{8 + a} = \frac{a^2 + 16a + 64 - 32a}{8 + a} = \frac{a^2 - 16a + 64}{8 + a} = \frac{(a - 8)^2}{a + 8} \] Перемножим упрощенные скобки: \[ \frac{(a + 8)^2}{a - 8} \cdot \frac{(a - 8)^2}{a + 8} = (a + 8)(a - 8) = a^2 - 64 \] Тогда исходное выражение: \[ a^2 - 64 - a^2 = -64 \]
   Ответ: $-64$.
   
   
2. Упростите выражение и вычислите при $c=-1$: \[ \frac{ac - 2bc + 2a - 4b}{2a - 4b - ac + 2bc}. \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \[ ac - 2bc + 2a - 4b = a(c + 2) - 2b(c + 2) = (a - 2b)(c + 2) \] Знаменатель: \[ 2a - 4b - ac + 2bc = 2(a - 2b) - c(a - 2b) = (2 - c)(a - 2b) \] Упростим дробь: \[ \frac{(a - 2b)(c + 2)}{(2 - c)(a - 2b)} = \frac{c + 2}{2 - c} \] Подставим $c = -1$: \[ \frac{(-1) + 2}{2 - (-1)} = \frac{1}{3} \]
   Ответ: $\frac{1}{3}$.
   
   
3. В первом кинотеатре на 20% рядов больше, чем во втором. В каждом ряду первого на 10% мест больше. На сколько процентов число кресел в первом кинотеатре больше?
   Решение: Пусть во втором кинотеатре $x$ рядов и $y$ мест в ряду. Тогда в первом кинотеатре: \[ 1,2x \text{ рядов} \quad \text{и} \quad 1,1y \text{ мест в ряду}. \] Общее количество мест: \[ \text{Первый: } 1,2x \cdot 1,1y = 1,32xy \quad \text{Второй: } xy \] Разница: \[ 1,32xy - xy = 0,32xy \quad \Rightarrow \quad 32\%. \]
   Ответ: На 32\%.
   
   
4. Расстояние 40 км. По течению время 4 ч, против течения — 5 ч. Найдите скорость лодки и течения.
   Решение: Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч, скорость течения $u$ км/ч. Скорость по течению: \[ v + u = \frac{40}{4} = 10 \quad \text{(1)} \] Скорость против течения: \[ v - u = \frac{40}{5} = 8 \quad \text{(2)} \] Сложим уравнения (1) и (2): \[ 2v = 18 \quad \Rightarrow \quad v = 9 \quad \Rightarrow \quad u = 10 - 9 = 1 \]
   Ответ: 9 км/ч и 1 км/ч.
   
   
5. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{3} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{3x - 5}{4}. \]
   Решение: Умножим обе части на 12: \[ 4(2x - 3) - 2(2x + 1) = 3(3x - 5) \] Раскроем скобки: \[ 8x - 12 - 4x - 2 = 9x - 15 \] Упростим: \[ 4x - 14 = 9x - 15 \quad \Rightarrow \quad -5x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{5} \]
   Ответ: $\frac{1}{5}$.
   
   
6. Прямые $k$ и $m$ параллельны. Угол между $k$ и $BA$ равен $33^\circ$. Найдите угол между $m$ и $BC$.
   Решение: Прямые $k$ и $m$ параллельны, следовательно, соответственные углы равны. Угол между $k$ и $BA$ составляет $33^\circ$. Так как $\angle ABC = 90^\circ$, угол между $m$ и $BC$ равен $90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.
   Ответ: $57^\circ$.
   
   
7. Найдите угол $AA_4A_3$.
   Решение: Рассмотрим равные отрезки: \[ AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = x. \] Треугольник $AA_2A_1$ равнобедренный с углом при вершине $A$ равным $32^\circ$. Тогда углы при основании равны: \[ \frac{180^\circ - 32^\circ}{2} = 74^\circ. \] Аналогично, треугольники $A_2A_4A_3$, $A_3A_5A_4$ и т.д. также равнобедренные с углами: \[ \angle AA_4A_3 = 180^\circ - 2 \cdot 74^\circ = 32^\circ. \]
   Ответ: $32^\circ$.
   
   
8. Ответы на устные вопросы:
   • Треугольник — геометрическая фигура из трёх отрезков, соединённых в трёх точках.
   • Равные треугольники: совпадающие при наложении. Признаки: по двум сторонам и углу между ними (SAS), по стороне и двум прилежащим углам (ASA), по трём сторонам (SSS).
   • Высота — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне. Медиана — отрезок из вершины к середине противоположной стороны. Биссектриса — луч, делящий угол пополам.