Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2008 год 2 вариант

1. Найдите делимое, если неполное частное равно 19, делитель 16, а остаток 12.
   
   
2. Велосипедист проехал за некоторое время с постоянной скоростью 56 км. Если бы он увеличил скорость на 4 км/ч, то за это же время проехал бы 64 км. Какова скорость велосипедиста?
   
   
3. Кофе при жарении теряет 12% своей массы. Сколько следует взять свежих зерен, чтобы получить 176 г жареного кофе?
   
   
4. Найдите число $a$, если 16% числа 60 равны 5% числа $a$.
   
   
5. Определите разность корней уравнения: $|x - 1| = 4$.
   
   
6. При каком $x$ выполняется равенство: \[ \frac{3^{\tfrac{4}{15}}}{(5,5 + x)^{21/7}} - 1\tfrac{3}{8} = 5,625? \]
   
   
7. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ \frac{18^2 - 19^2}{56^2 - 19^2}. \]
   
   
8. Найдите координаты точки пересечения прямых: \[ 2x - 3y = 11, \quad 3x + 5y = -12. \]
   
   
9. Вычислите: \[ \frac{x}{3x + 2y}, \quad\text{если } \frac{x}{y} = \frac{2}{3}. \]
   
   
10. При каком значении $a$ выражение $4x^2 + 3ax + 9$ является полным квадратом?
    
    
11. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна $24^\circ$. Чему равны четыре полученных угла?
    
    
12. Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$). На стороне $AC$ взята точка $D$ так, что треугольник $BCD$ — равносторонний. Найдите углы треугольников $ABC$ и $ABD$.
    
    

1. 316
2. 28
3. 200
4. 192
5. 8 или $-8$
6. 4,5
7. $\tfrac{1}{75}$
8. $(1;-3)$
9. $\tfrac{1}{4}$
10. $\pm4$
11. 102,78
12. $30^\circ,\,30^\circ,\,120^\circ$

Решения задач

1. Найдите делимое, если неполное частное равно 19, делитель 16, а остаток 12.
   Решение:
   Делимое вычисляется по формуле: неполное частное $\cdot$ делитель $+$ остаток.
   $19 \cdot 16 + 12 = 304 + 12 = 316$
   Ответ: 316.
2. Велосипедист проехал за некоторое время с постоянной скоростью 56 км. Если бы он увеличил скорость на 4 км/ч, то за это же время проехал бы 64 км. Какова скорость велосипедиста?
   Решение:
   Пусть скорость велосипедиста $v$ км/ч, время $t$ часов.
   $v \cdot t = 56$,\quad $(v + 4) \cdot t = 64$
   Выразим время $t = \frac{56}{v}$ из первого уравнения и подставим во второе:
   $(v + 4) \cdot \frac{56}{v} = 64$
   $56 + \frac{224}{v} = 64$
   $\frac{224}{v} = 8 \quad \Rightarrow \quad v = 28$ км/ч
   Ответ: 28.
3. Кофе при жарении теряет 12% своей массы. Сколько следует взять свежих зерен, чтобы получить 176 г жареного кофе?
   Решение:
   После потери 12% массы остаётся 88% исходной массы. Пусть $x$ г — масса сырого кофе.
   $0{,}88x = 176 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{176}{0{,}88} = 200$ г
   Ответ: 200 г.
4. Найдите число $a$, если 16% числа 60 равны 5% числа $a$.
   Решение:
   Составим уравнение: $0{,}16 \cdot 60 = 0{,}05 \cdot a$
   $9{,}6 = 0{,}05a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{9{,}6}{0{,}05} = 192$
   Ответ: 192.
5. Определите разность корней уравнения: $|x - 1| = 4$.
   Решение:
   Раскроем модуль:
   $x - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 5$
   $x - 1 = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -3$
   Разность корней: $5 - (-3) = 8$
   Ответ: 8.
6. При каком $x$ выполняется равенство: \[ \frac{3^{\tfrac{4}{15}}}{(5{,}5 + x)^{21/7}} - 1\tfrac{3}{8} = 5{,}625? \] Решение:
   Упростим показатели:
   $\frac{3^{4/15}}{(5{,}5 + x)^3} - 1{,}375 = 5{,}625$
   Перенесём постоянные:
   $\frac{3^{4/15}}{(5{,}5 + x)^3} = 7$
   Так как $3^{4/15} = 7 \cdot (5{,}5 + x)^3$, подберём $x$ из условия целочисленности:
   $(5{,}5 + x)^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad 5{,}5 + x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -4{,}5$
   Ответ: $x = -4{,}5$.
7. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ \frac{18^2 - 19^2}{56^2 - 19^2}. \] Решение:
   Применим разность квадратов:
   $\frac{(18 - 19)(18 + 19)}{(56 - 19)(56 + 19)} = \frac{(-1) \cdot 37}{37 \cdot 75} = -\frac{1}{75}$
   Ответ: $-\frac{1}{75}$.
8. Найдите координаты точки пересечения прямых: \[ 2x - 3y = 11, \quad 3x + 5y = -12. \] Решение:
   Решим систему уравнений методом исключения:
   Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:
   $6x - 9y = 33$,\quad $6x + 10y = -24$
   Вычтем уравнения: $-19y = 57 \quad \Rightarrow \quad y = -3$
   Подставим $y$ в первое уравнение: $2x - 3(-3) = 11 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
   Ответ: $(1; \, -3)$.
9. Вычислите: \[ \frac{x}{3x + 2y}, \quad\text{если } \frac{x}{y} = \frac{2}{3}. \] Решение:
   Пусть $x = 2k$, $y = 3k$:
   $\frac{2k}{3 \cdot 2k + 2 \cdot 3k} = \frac{2k}{12k} = \frac{1}{6}$
   Ответ: $\frac{1}{6}$.
10. При каком значении $a$ выражение $4x^2 + 3ax + 9$ является полным квадратом?
    Решение:
    Выражение будет квадратом, если $4x^2 + 3ax + 9 = (2x \pm 3)^2$.
    Раскроем квадрат: $4x^2 \pm 12x + 9$.
    Сравним коэффициенты: $3a = \pm 12 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 4$
    Ответ: $a = 4$ или $a = -4$.
11. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна $24^\circ$. Чему равны четыре полученных угла?
    Решение:
    Смежные углы в сумме дают $180^\circ$.
    Пусть больший угол $x$, меньший $y$:
    $\begin{cases} x - y = 24^\circ \\ x + y = 180^\circ \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = 102^\circ, \quad y = 78^\circ$
    Вертикальные углы равны:
    Ответ: $102^\circ$, $78^\circ$, $102^\circ$, $78^\circ$.
12. Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$). На стороне $AC$ взята точка $D$ так, что треугольник $BCD$ — равносторонний. Найдите углы треугольников $ABC$ и $ABD$.
    Решение:
    Так как $\triangle BCD$ равносторонний, $\angle BCD = 60^\circ$.
    В $\triangle ABC$: $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle BCA = 60^\circ$, $\angle BAC = 30^\circ$.
    В $\triangle ABD$:
    $\angle ABD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$,
    $\angle BAD = 30^\circ$,
    $\angle ADB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.
    Ответ: В $\triangle ABC$: $90^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$;
    В $\triangle ABD$: $30^\circ$, $120^\circ$, $30^\circ$.