Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2008 год 1 вариант

1. Найдите делимое, если неполное частное равно 16, делитель 19, а остаток 13.
   
   
2. Спортсмен пробежал 360 м со скоростью 6 м/с. На сколько ему нужно увеличить скорость, чтобы улучшить свой результат на 10 секунд?
   
   
3. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько сушеных яблок получится из 400 кг свежих?
   
   
4. Найдите число $a$, если 8% числа 120 равны 5% числа $a$.
   
   
5. Определите сумму корней уравнения: \(|5 - x| = 3\).
   
   
6. Найдите средний член пропорции: \[ \frac{3,6}{14 - 15\tfrac{1}{8} : 2,2} = \frac{x}{1,5 + 2\tfrac{2}{3} : 3,75}. \]
   
   
7. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ \frac{18^2 - 19^2}{56^2 - 19^2}. \]
   
   
8. Найдите координаты точки пересечения прямых: \[ 9x - 3y = -6, \quad 4x - y = -2. \]
   
   
9. Вычислите: \( \frac{2x - 3y}{4z + 3y}, \) если \( \frac{x}{y} = \frac{3}{2}. \)
   
   
10. При каком значении $a$ выражение $9x^2 - 3ax + 1$ является полным квадратом?
    
    
11. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна $18^\circ$. Чему равны четыре полученных угла?
    
    
12. В прямоугольном треугольнике $MNP$ ($\angle N = 90^\circ$) биссектрисы $MK$ и $PQ$ пересекаются в точке $O$. Определите градусную меру угла $POM$.
    
    

1. 317
2. 1,2
3. 64
4. 192
5. 10
6. 4
7. $-\tfrac{1}{75}$
8. $(0;2)$
9. 0
10. $\pm2$
11. $99^\circ,\,81^\circ$
12. $135^\circ$

Решения задач

1. Найдите делимое, если неполное частное равно 16, делитель 19, а остаток 13.
   Решение: Делимое $\,=\,$ (неполное частное) $\cdot$ делитель $+$ остаток:
   $16 \cdot 19 + 13 = 304 + 13 = 317$
   Ответ: 317.
2. Спортсмен пробежал 360 м со скоростью 6 м/с. На сколько ему нужно увеличить скорость, чтобы улучшить свой результат на 10 секунд?
   Решение: Изначальное время:
   $\frac{360}{6} = 60$ с.
   Новое время: $60 - 10 = 50$ с.
   Нужная скорость: $\frac{360}{50} = 7{,}2$ м/с.
   Увеличение скорости: $7{,}2 - 6 = 1{,}2$ м/с.
   Ответ: 1{,}2.
3. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько сушеных яблок получится из 400 кг свежих?
   Решение: Потеря массы: $84\%$ от 400 кг:
   $0{,}84 \cdot 400 = 336$ кг.
   Остаток: $400 - 336 = 64$ кг.
   Ответ: 64 кг.
4. Найдите число $a$, если 8% числа 120 равны 5% числа $a$.
   Решение: $0{,}08 \cdot 120 = 0{,}05 \cdot a$.
   $9{,}6 = 0{,}05a$ $\quad \Rightarrow \quad a = \frac{9{,}6}{0{,}05} = 192$.
   Ответ: 192.
5. Определите сумму корней уравнения: \(|5 - x| = 3\).
   Решение: Раскроем модуль:
   $5 - x = 3$ $\quad \Rightarrow \quad x = 2$.
   $5 - x = -3$ $\quad \Rightarrow \quad x = 8$.
   Сумма корней: $2 + 8 = 10$.
   Ответ: 10.
6. Найдите средний член пропорции: \[ \frac{3{,}6}{14 - 15\tfrac{1}{8} : 2{,}2} = \frac{x}{1{,}5 + 2\tfrac{2}{3} : 3{,}75}. \]
   Решение:
   Преобразуем числа:
   $15\tfrac{1}{8} = \frac{121}{8}$; $\quad 2{,}2 = \frac{11}{5}$; $\quad 2\tfrac{2}{3} = \frac{8}{3}$; $\quad 3{,}75 = \frac{15}{4}$.
   Вычислим знаменатель левой дроби:
   $14 - \frac{121}{8} : \frac{11}{5} = 14 - \frac{121}{8} \cdot \frac{5}{11} = 14 - \frac{605}{88} = \frac{1232 - 605}{88} = \frac{627}{88}$.
   Знаменатель правой дроби:
   $1{,}5 + \frac{8}{3} : \frac{15}{4} = \frac{3}{2} + \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{3}{2} + \frac{32}{45} = \frac{135 + 64}{90} = \frac{199}{90}$.
   Пропорция:
   $\frac{3{,}6}{\frac{627}{88}} = \frac{x}{\frac{199}{90}}$ $\quad \Rightarrow$ $x = \frac{3{,}6 \cdot \frac{199}{90}}{\frac{627}{88}} = \frac{7{,}96 \cdot 88}{627} \approx \frac{696{,}48}{627} \approx 1{,}111$.
   Ответ: $\frac{199}{180}$ (≈1{,}11).
7. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ \frac{18^2 - 19^2}{56^2 - 19^2}. \]
   Решение: Используем разность квадратов:
   $\frac{(18 - 19)(18 + 19)}{(56 - 19)(56 + 19)} = \frac{(-1) \cdot 37}{37 \cdot 135} = -\frac{1}{135}$.
   Ответ: $-\frac{1}{135}$.
8. Найдите координаты точки пересечения прямых: \[ 9x - 3y = -6, \quad 4x - y = -2. \]
   Решение: Выразим $y$ из второго уравнения:
   $y = 4x + 2$.
   Подставим в первое уравнение:
   $9x - 3(4x + 2) = -6$ $\quad \Rightarrow$ $9x - 12x -6 = -6$ $\quad \Rightarrow$ $-3x = 0$ $\quad \Rightarrow$ $x=0$.
   Тогда $y = 4 \cdot 0 + 2 = 2$.
   Ответ: $(0;\,2)$.
9. Вычислите: \( \frac{2x - 3y}{4z + 3y}, \) если \( \frac{x}{y} = \frac{3}{2}. \)
   Решение: Из условия $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ $\quad \Rightarrow$ $x = \frac{3}{2}y$.
   Подставим в числитель:
   $2 \cdot \frac{3}{2}y - 3y = 3y - 3y = 0$.
   Значение дроби: $\frac{0}{4z + 3y} = 0$.
   Ответ: 0.
10. При каком значении $a$ выражение $9x^2 - 3ax + 1$ является полным квадратом?
    Решение: Представим выражение как $(3x - b)^2 = 9x^2 - 6bx + b^2$.
    Приравняем коэффициенты: $-3a = -6b$ и $1 = b^2$.
    Отсюда: $b = \pm1$, тогда $a = 2b$ $\quad \Rightarrow$ $\quad a = \pm2$.
    Ответ: $\pm2$.
11. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна $18^\circ$. Чему равны четыре полученных угла?
    Решение: Сумма смежных углов $180^\circ$. Пусть углы равны $\alpha$ и $\alpha + 18^\circ$:
    $\alpha + (\alpha + 18^\circ) = 180^\circ$ $\quad \Rightarrow$ $\quad 2\alpha = 162^\circ$ $\quad \Rightarrow$ $\quad \alpha = 81^\circ$.
    Углы: $81^\circ$, $99^\circ$, $81^\circ$, $99^\circ$.
    Ответ: $81^\circ$, $99^\circ$, $81^\circ$, $99^\circ$.
12. В прямоугольном треугольнике $MNP$ ($\angle N = 90^\circ$) биссектрисы $MK$ и $PQ$ пересекаются в точке $O$. Определите градусную меру угла $POM$.
    Решение: Биссектрисы делят углы $\angle M$ и $\angle P$ пополам. В прямоугольном треугольнике углы $\angle M$ и $\angle P$ в сумме дают $90^\circ$. Биссектрисы образуют углы $45^\circ$ каждый. Угол между биссектрисами в сумме с половинами углов образует $180^\circ$. После выкладок угол $POM$ оказывается равным $135^\circ$.
    Ответ: $135^\circ$.