Лицей №1580 из 6 в 7 класс вариант 2

1. Вычислите: \[ 5\tfrac{17}{20} + \bigl(3\tfrac{1}{2} - 2\tfrac{3}{8}\bigr)\cdot1\tfrac{1}{3} \cdot \bigl(4\tfrac{1}{3} - 1\tfrac{5}{6}\bigr). \]
   
   
2. Решите уравнения и выполните проверку:
   1. $-0{,}3\cdot(0{,}5x - 0{,}2) + 0{,}4\cdot(0{,}3x - 0{,}1) = -0{,}05x + 0{,}02$;
   2. $\displaystyle \frac{3x - 2{,}4}{0{,}02} = \frac{8 - x}{0{,}1}.$
   
   
   
3. Решите задачу с помощью уравнения:
   В первом контейнере в 5 раз больше моркови, чем во втором. Когда из первого контейнера взяли 25 кг моркови, а во второй засыпали 15 кг, то в обоих контейнерах моркови стало поровну. Сколько моркови в каждом контейнере было первоначально?
   
   
4. Среднее арифметическое десяти чисел равно 12. Среднее арифметическое первых шести из этих чисел равно 10.
   Найдите среднее арифметическое оставшихся четырех чисел.
   
   
5. Из города A в город B выехал велосипедист. Спустя 0,8 ч вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 75% больше скорости велосипедиста. Через 1,2 ч после своего выезда мотоциклист оказался впереди велосипедиста на 28 км.
   Найдите скорость мотоциклиста.
   
   
6. Изобразите в координатной плоскости точки $A(-3;5)$, $C(3;-2)$, $B(-3;-2)$, $D(3;5)$ и найдите площадь фигуры $ABCD$.
   
   

Решения задач

1. Вычислите:
   $5\tfrac{17}{20} + \left(3\tfrac{1}{2} - 2\tfrac{3}{8}\right)\cdot1\tfrac{1}{3} \cdot \left(4\tfrac{1}{3} - 1\tfrac{5}{6}\right).$
   Решение:
   $5\tfrac{17}{20} = \frac{117}{20}$;
   $3\tfrac{1}{2} - 2\tfrac{3}{8} = \frac{7}{2} - \frac{19}{8} = \frac{28}{8} - \frac{19}{8} = \frac{9}{8}$;
   $1\tfrac{1}{3} = \frac{4}{3}$;
   $4\tfrac{1}{3} - 1\tfrac{5}{6} = \frac{13}{3} - \frac{11}{6} = \frac{26}{6} - \frac{11}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$;
   Вычислим выражение в скобках:
   $\frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 5}{8 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{180}{48} = \frac{15}{4} = 3,75$;
   Общий результат:
   $\frac{117}{20} + \frac{15}{4} = \frac{117}{20} + \frac{75}{20} = \frac{192}{20} = 9,6 = 9\tfrac{3}{5}$.
   Ответ: $9\tfrac{3}{5}$.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. $-0{,}3\cdot(0{,}5x - 0{,}2) + 0{,}4\cdot(0{,}3x - 0{,}1) = -0{,}05x + 0{,}02$
      Решение:
      $-0,15x + 0,06 + 0,12x - 0,04 = -0,05x + 0,02$
      $-0,03x + 0,02 = -0,05x + 0,02$
      $-0,03x + 0,05x = 0$
      $0,02x = 0 \quad \Rightarrow x = 0$.
      Проверка: Подставляем $x=0$:
      Лев.часть: $-0,3 \cdot (-0,2) + 0,4 \cdot (-0,1) = 0,06 - 0,04 = 0,02$;
      Прав.часть: $-0,05 \cdot 0 + 0,02 = 0,02$.
      Ответ: $0$.
      
      
   2. $\displaystyle \frac{3x - 2{,}4}{0{,}02} = \frac{8 - x}{0{,}1}$
      Решение:
      Умножим обе части на $0,02 \cdot 0,1 = 0,002$:
      $(3x - 2,4) \cdot 0,1 = (8 - x) \cdot 0,02$
      $0,3x - 0,24 = 0,16 - 0,02x$
      $0,32x = 0,4$
      $x = \frac{0,4}{0,32} = 1,25$.
      Проверка:
      Лев.часть: $\frac{3 \cdot 1,25 - 2,4}{0,02} = \frac{1,35}{0,02} = 67,5$;
      Прав.часть: $\frac{8 - 1,25}{0,1} = \frac{6,75}{0,1} = 67,5$.
      Ответ: $1,25$.
   
   
   
3. Решите задачу с помощью уравнения:
   Пусть во втором контейнере $x$ кг моркови, тогда в первом — $5x$ кг.
   После изменений:
   Первый контейнер: $5x - 25$;
   Второй контейнер: $x + 15$.
   Уравнение:
   $5x - 25 = x + 15$
   $4x = 40 \quad \Rightarrow x = 10$.
   Первоначально:
   Первый контейнер: $5 \cdot 10 = 50$ кг;
   Второй контейнер: $10$ кг.
   Проверка: $50 - 25 = 25$ кг и $10 + 15 = 25$ кг — верно.
   Ответ: 50 кг и 10 кг.
   
   
4. Среднее арифметическое десяти чисел равно 12. Среднее арифметическое первых шести чисел — 10.
   Решение:
   Общая сумма десятия чисел: $12 \cdot 10 = 120$;
   Сумма первых шести: $10 \cdot 6 = 60$;
   Сумма последних четырех: $120 - 60 = 60$;
   Среднее арифметическое: $\frac{60}{4} = 15$.
   Ответ: 15.
   
   
5. Найдите скорость мотоциклиста:
   Пусть скорость велосипедиста $v$ км/ч, тогда скорость мотоциклиста $1,75v$ км/ч.
   Время движения велосипедиста до момента опережения: $0,8 + 1,2 = 2$ часа.
   Расстояние велосипедиста: $2v$;
   Расстояние мотоциклиста: $1,2 \cdot 1,75v = 2,1v$.
   Разность расстояний:
   $2,1v - 2v = 0,1v = 28$ км
   $v = 280$ км/ч.
   Скорость мотоциклиста: $1,75 \cdot 280 = 490$ км/ч.
   Ответ: 490 км/ч.
   
   
6. Изобразите точки $A(-3;5)$, $B(-3;-2)$, $C(3;-2)$, $D(3;5)$.
   Решение:
   Фигура $ABCD$ — прямоугольник с длиной стороны $3 - (-3) = 6$ по оси $x$ и $5 - (-2) = 7$ по оси $y$.
   Площадь: $6 \cdot 7 = 42$.
   Ответ: 42.