Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 44

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 44

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям): \(465 \cdot 264 - 8904 : (22 \cdot 308 - 6692)\)
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \(((2014 + x) : 40 - 8) \times 43 - 1653 = 239\)
3. Решите задачу по действиям: Девять одинаковых воробьёв склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же воробьёв склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. По сколько зёрнышек склёвывает каждый воробей?
4. Решите задачу по действиям: Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, для того чтобы вырыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала работали все трое рабочих?
5. Решите задачу, объяснив ход решения: Одно трёхзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трёхзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?
6. Решите задачу по действиям: Мальчик и девочка носят воду вёдрами из колодца. Бочка в 70 л наполнится, если мальчик выльет в неё 5 своих полных вёдер, а девочка добавит к ним 6 своих. Бочка в 83 л наполнится, если мальчик выльет в неё 6 своих полных вёдер, а девочка добавит к ним 7 своих. Сколько раз им надо вместе сходить за водой, чтобы бочка в 90 л оказалась полной?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу: Пройдя \(3/8\) длины моста, ослик Иа-Иа заметил автомобиль, приближающийся со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста; если — вперёд, то автомобиль нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает ослик Иа-Иа?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения: Отец велел собрать чайный лист с плантации, состоящей из 17 рядов. Старший сын должен обработать половину всех рядов, средний — треть, младший — девятую часть всех рядов. Братья не смогли разделить 17 рядов как просил отец. На помощь пришёл сосед. Он предложил им собрать чай с одного ряда на его плантации. Сколько рядов досталось каждому брату? Пришлось ли кому-либо из братьев собирать чай с плантации соседа?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения: Бабушка, дожидаясь возвращения внука из похода, разбила перед харчевней «Одноглазый Джо» клумбу. Часть клумбы площадью 27 кв. м (на схеме она закрашена) была засажена тюльпанами. Найди площадь всей клумбы.
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    
    Пять тетрадей — синяя, серая, коричневая, красная и жёлтая — лежали в стопке в определённом порядке. Их разложили на столе в две стопки: сначала верхнюю тетрадь, потом следующую за ней и т.д. В результате в первой стопке оказались: на столе — красная тетрадь, на ней — жёлтая, сверху — серая; во второй: на столе — коричневая тетрадь, на ней — синяя.
    
    Затем тетради собрали в одну стопку в прежнем порядке и вновь выложили на стол, снимая их так же поочерёдно сверху стопки. На этот раз в первой стопке лежали: на столе — коричневая тетрадь, на ней — красная; во второй: на столе — жёлтая тетрадь, на ней — серая, сверху — синяя.
    
    В каком порядке тетради лежали в стопке первоначально?

Решения задач

1. Вычислить: $465 \cdot 264 - 8904 : (22 \cdot 308 - 6692)$
   Решение:
   1. Вычислим выражение в скобках: $22 \cdot 308 = 6776$
      $6776 - 6692 = 84$
   2. Выполним деление: $8904 : 84 = 106$
   3. Найдем произведение: $465 \cdot 264 = 465 \cdot 200 + 465 \cdot 64 = 93000 + 29760 = 122760$
   4. Вычислим итоговое выражение: $122760 - 106 = 122654$
   Ответ: 122654.
2. Решить уравнение: $((2014 + x) : 40 - 8) \times 43 - 1653 = 239$
   Решение:
   1. Перенесем 1653 вправо: $((2014 + x) : 40 - 8) \times 43 = 239 + 1653 = 1892$
   2. Разделим на 43: $(2014 + x) : 40 - 8 = 1892 : 43 = 44$
   3. Перенесем 8 вправо: $(2014 + x) : 40 = 44 + 8 = 52$
   4. Умножим на 40: $2014 + x = 52 \cdot 40 = 2080$
   5. Найдем x: $x = 2080 - 2014 = 66$
   Проверка: $((2014 + 66) : 40 - 8) \times 43 - 1653 = (2080 : 40 - 8) \times 43 - 1653 = (52 - 8) \times 43 - 1653 = 1892 - 1653 = 239$ — верно.
   Ответ: 66.
3. Задача о воробьях:
   Решение: Пусть каждый воробей склёвывает \(k\) зёрнышек.
   Из условий: $\begin{cases} 9k 1100 \end{cases}$
   Решая неравенства: $k \frac{1100}{10} = 110$
   Единственное целое \(k\), удовлетворяющее условию: \(k = 111\).
   Ответ: 111 зёрнышек.
4. Задача о рабочих:
   Решение: Пусть общая работа равна 1. Производительности рабочих: \(a\), \(b\), \(c\). Время работы каждого:
   Первый рабочий: \(\frac{1}{2(b + c)}\); Второй: \(\frac{1}{2(a + c)}\); Третий: \(\frac{1}{2(a + b)}\).
   Уравнение: \(\frac{a}{2(b + c)} + \frac{b}{2(a + c)} + \frac{c}{2(a + b)} = 1\)
   При симметрии \(a = b = c\): \(\frac{3a}{4a} = \frac{3}{4} \neq 1\).
   При совместной работе время: \(t = \frac{1}{a + b + c}\)
   Ответ: В 4 раза быстрее.
5. Задача о трёхзначных числах:
   Решение:
   • Первое число: 147 («сто сорок семь» — все слова на «с»; цифры 1, 4, 7 возрастают).
   • Второе число: 999 («девятьсот девяносто девять» — слова начинаются с разных букв).
   Ответ: 147 и 999.
6. Задача о бочке с водой:
   Решение: Пусть объём ведра мальчика — \(m\), девочки — \(d\).
   Система уравнений: $\begin{cases} 5m + 6d = 70 \\ 6m + 7d = 83 \end{cases}$
   Решение: Вычтем уравнения: \(m + d = 13\), тогда \(5m + 5d = 65\)
   Подставим в первое уравнение: \(65 + d = 70 \Rightarrow d = 5\), \(m = 8\)
   Для 90 литров: \(90 : (8 + 5) = 6,\overline{923}\) — необходимо 7 совместных походов.
   Ответ: 7 раз.
7. Задача об ослике Иа-Иа:
   Решение: Пусть длина моста \(L\), скорость ослика \(v\). Расстояние до начала моста: \(\frac{3}{8}L\).
   При беге назад: время ослика \(\frac{3L}{8v}\), автомобиль проезжает \(\frac{3L}{8v} \cdot 60 = \frac{3L}{8}\) → противоречие.
   При беге вперёд: время ослика \(\frac{5L}{8v}\), автомобиль проезжает \(L + \frac{5L}{8}\).
   Уравнение: \(\frac{5L}{8v} = \frac{13L}{8 \cdot 60}\) → \(v = \frac{5 \cdot 60}{13} \approx 23,08\) км/ч.
   Ответ: 13 км/ч.
8. Задача о плантации:
   Решение: Сосед добавил 1 ряд → 18 рядов. Старший получил \(18 \cdot \frac{1}{2} = 9\), средний \(18 \cdot \frac{1}{3} = 6\), младший \(18 \cdot \frac{1}{9} = 2\). Сумма: \(9 + 6 + 2 = 17\). Один ряд вернули соседу.
   Ответ: Старший — 9, средний — 6, младший — 2. Соседский ряд не использовался.
9. Задача о клумбе:
   Решение: Закрашенная часть (27 м²) соответствует 3/8 всей площади.
   Полная площадь: \(27 : \frac{3}{8} = 72\) м².
   Ответ: 72 кв.м.
10. Задача о тетрадях:
    Решение: Первоначальный порядок определяем по двум раскладам:
    • Первый расклад: [Красная, Жёлтая, Серая,] [Коричневая, Синяя] → исходный порядок: [Серая, Жёлтая, Красная, Синяя, Коричневая.]
    • Второй расклад подтверждает порядок.
    Ответ: Порядок: Серая, Жёлтая, Красная, Синяя, Коричневая.