Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 42

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 42

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям): \(35620 + 26910 : (150070 - 306 \cdot 490) - 6938\)
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \(249 - (14 + (5 \cdot x - 28) \cdot 3) : 2 = 239\)
3. Решите задачу по действиям: Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с 1–й. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц, если не могло — объясните почему.
4. Решите задачу по действиям: На глобусе проведены 17 параллелей и 25 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридианом называется дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — это окружность, параллельная экватору. Экватор также является параллелью.
5. Решите задачу, объяснив ход решения: Дано трёхзначное число ABB, произведение цифр которого — двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно C (здесь как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные). Определите исходное число.
6. Решите задачу по действиям: В большую квадратную комнату внесли два квадратных ковра. Сторона одного из ковров в два раза больше стороны другого. Оказалось, что если положить ковры в противоположные углы комнаты, то они покроют в два слоя участок пола площадью 4 м². А если положить ковры в соседние углы комнаты, то в два слоя окажется покрыт участок площадью 14 м². Чему равна сторона комнаты?
7. Нарисуйте схему и решите задачу: Из пунктов A и B, расстояние между которыми 120 км, навстречу друг другу движутся два поезда. Если первый поезд выйдет из A на 2 ч раньше, чем второй выйдет из B, то они встретятся на середине пути. За какое время первый поезд проходит расстояние от A до B, если через час после встречи расстояние между поездами будет равно 80 км?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения: На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились на две стаи: одна стая уселась на ветви старой берёзы, а другая — на ольху. Через некоторое время с берёзы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с берёзы, после чего на берёзе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально?
9. Решите задачу, объяснив ход решения: Прямоугольник ABCD разделили на четыре меньших прямоугольника с одинаковыми периметрами. Известно, что \(AB = 18\) см, а \(BC = 16\) см. Найдите длины сторон остальных прямоугольников. Обязательно объясните свой ответ.
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения: Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самым высоким в компании был Юра Воробьёв, следующим по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егоровa, Серёжа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьёва. Определите, кто с кем катался?

Решения задач

1. Вычислить: \(35620 + 26910 : (150070 - 306 \cdot 490) - 6938\)
   Решение: \[ \begin{aligned} 1)\ &306 \cdot 490 = 149940 \\ 2)\ &150070 - 149940 = 130 \\ 3)\ &26910 : 130 = 207 \\ 4)\ &35620 + 207 = 35827 \\ 5)\ &35827 - 6938 = 28889 \end{aligned} \] Ответ: \(28889\).
2. Решите уравнение: \(249 - (14 + (5 \cdot x - 28) \cdot 3) : 2 = 239\)
   Решение: \[ \begin{aligned} &249 - \frac{14 + 3(5x - 28)}{2} = 239 \\ &\frac{14 + 15x - 84}{2} = 249 - 239 \\ &\frac{15x - 70}{2} = 10 \\ &15x - 70 = 20 \\ &15x = 90 \\ &x = 6 \end{aligned} \] Проверка: \(\frac{14 + (5 \cdot 6 - 28) \cdot 3}{2} = 10\). Верно.
   Ответ: \(6\).
3. Определите, возможно ли использование 100 цифр для нумерации страниц.
   Решение: Страницы \(1-9\): \(9\) цифр. $\newline$ Страницы \(10-\)n: двузначные. Пусть страниц больше 9: \[ 9 + 2(n - 9) = 100 \Rightarrow 2n = 109 \Rightarrow n = 54,5 \quad \text{Нецелое.} \] Ответ: Незнайка ошибся.
4. Найти количество частей на глобусе с 17 параллелями и 25 меридианами.
   Решение: $\newline$ Параллели делят глобус на \(17 + 1 = 18\) зон. $\newline$ Меридианы делят на \(25\) секторов. $\newline$ Всего: \(18 \cdot 25 = 450\) частей.
   Ответ: \(450\).
5. Определите трёхзначное число \(ABB\), произведение цифр которого равно \(AC\), причём произведение цифр \(AC\) дает \(C\).
   Решение: $\newline$ Пусть \(A = 1\) (иначе \(AC\) трёхзначно). Тогда: \[ B \cdot B = 10 + C \quad \text{и} \quad 1 \cdot C = C \quad \Rightarrow \quad B^2 = 10 + C. \] Проверяя \(B = 4\): \(4^2 = 16\), \(C = 6\), \(1 \cdot 6 = 6 = C\). Число: \(144\).
   Ответ: \(144\).
6. Найти сторону квадратной комнаты с коврами площадью двукратного перекрытия 4 м² и 14 м².
   Решение: Пусть сторона малого ковра \(x\), большого \(2x\), комнаты \(a\): $\newline$ При противоположном расположении: \((3x - a)^2 = 4 \Rightarrow a = 3x - 2\). $\newline$ При соседних углах: \(2x(3x - a) = 14\). Подставляя \(a\): $\newline$ \(2x(3x - (3x - 2)) = 14 \Rightarrow 4x =14 \Rightarrow x=3,5\) м, \(a=8,5\) м.
   Ответ: \(8,5\) м.
7. Определить время прохождения первого поезда от \(A\) до \(B\).
   Решение: Скорости \(v_1\) и \(v_2\): \[ \begin{cases} \frac{60}{v_1} = \frac{60}{v_2} + 2 \\ v_1 + v_2 = 80 \end{cases} \] Решение: \(v_1 = 20\) км/ч, время: \(\frac{120}{20} = 6\) ч.
   Ответ: \(6\) часов.
8. Найти первоначальное число ворон на берёзе и ольхе.
   Решение: \[ \begin{cases} x + y = 35 \\ x - 10 = 2(y + 5) \end{cases} \] Ответ: \(30\) на берёзе, \(5\) на ольхе.
9. Определить стороны меньших прямоугольников с равными периметрами.
   Решение: Периметры \(\Rightarrow\) разбиение сторон \(AB\) и \(BC\) пополам: \(9\) см и \(8\) см.
   Ответ: Стороны прямоугольников \(9\) см и \(8\) см.
10. Определить пары катающихся.
    Решение: Пары с учетом роста и запрета кататься с сестрами: \[ \begin{aligned} &1.\, \text{Юра Воробьёв и Люся Егорова} \\ &2.\, \text{Андрей Егоров и Оля Петрова} \\ &3.\, \text{Серёжа Петров и Инна Крымова} \\ &4.\, \text{Дима Крымов и Аня Воробьёва} \end{aligned} \]