Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 41

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 41

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям): \(47633 : 19 + (70 + 30 \cdot 411) : 50 - 416\)
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \(((2010 - x) : 3 + 31) : 25 + 211 = 239\)
   
   
3. Решите задачу по действиям: Лёва с Васей решили купить футбольный мяч. У Лёвы не хватило 20 рублей, чтобы его купить, а у Васи 30 рублей. Тогда они сложили свои деньги и купили мяч, причём 60 рублей у них осталось. Сколько стоил футбольный мяч?
   
   
4. Решите задачу по действиям: В одной американской фирме каждый служащий является либо демократом, либо республиканцем. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения: Представьте число 533533533533 в виде произведения как можно большего числа различных натуральных сомножителей.
   
   
6. Решите задачу по действиям: На рисунке изображена буква П ширины 7, высоты 5, а толщина ножек и перекладины у неё 2 клетки. Сколько клеток содержит аналогичная буква П ширины 70, высоты 60 и с толщиной ножки и перекладины 6 клеток?
   
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   
   Два мотоциклиста выехали одновременно из пункта A, едут с разными, но постоянными скоростями в пункт B и, достигнув его, сейчас же поворачивают обратно. Первый мотоциклист, обогнав второго, встречает его на обратном пути на расстоянии 13 км от B, затем, достигнув A и снова повернув обратно к B, он встречает второго мотоциклиста, проехав \(\tfrac{1}{7}\) расстояния от A до B. Найдите расстояние от A до B.
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды. — Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, — сказал рулевой. — А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, — заметил боцман. — Кроме того, я на 4 года старше матроса. — Средний возраст команды — 28 лет, — дал справку капитан. Сколько лет капитану?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   В городе Урюпинске на главной площади залили каток странной формы (см. рисунок). Какова площадь катка, если площадь одной клеточки на плане 1 кв. м?
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    
    На необитаемом острове растут три дерева: ёлка, берёза и сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на деревья повесили таблички: на ёлку — «Клад зарыт под сосной», на берёзу — «Клад зарыт не здесь», на сосну — «Клад зарыт под берёзой». Две надписи правдивые, одна — ложная. Под каким деревом клад?

Решения задач

1. Вычислить: \(47633 : 19 + (70 + 30 \cdot 411) : 50 - 416\)
   Решение: \[ 47633 : 19 = 2507;\quad 30 \cdot 411 = 12330;\quad 70 + 12330 = 12400;\quad 12400 : 50 = 248; \] \[ 2507 + 248 = 2755;\quad 2755 - 416 = 2339. \]
   Ответ: 2339.
2. Решить уравнение: \(((2010 - x) : 3 + 31) : 25 + 211 = 239\)
   Решение: \[ ((2010 - x) : 3 + 31) : 25 = 28; \] \[ (2010 - x) : 3 + 31 = 700; \] \[ (2010 - x) : 3 = 669; \] \[ 2010 - x = 2007; \] \[ x = 3. \] Проверка подстановкой подтверждает решение.
   Ответ: 3.
3. Решить задачу: Лёва и Вася купили мяч, оставшись с 60 рублями. Сколько стоил мяч?
   Решение: Пусть цена мяча \(P\) руб. У Лёвы \((P - 20)\) руб., у Васи \((P - 30)\) руб. Тогда: \[ (P - 20) + (P - 30) = P + 60; \] \[ 2P - 50 = P + 60;\quad P = 110. \]
   Ответ: 110 рублей.
4. Решить задачу про американскую фирму:
   Решение: Пусть изначально республиканцев \(R\), демократов \(D\). После смены одного республиканца: \[ R - 1 = D + 1 \quad (1). \] После смены трёх республиканцев: \[ D + 4 = 2(R - 4) \quad (2). \] Из (1): \(R = D + 2\). Подставляя в (2): \[ D + 4 = 2(D - 2);\quad D = 8;\quad R = 10. \] Всего служащих: \(8 + 10 = 18\).
   Ответ: 18.
5. Представить \(533533533533\) как наибольшее число различных натуральных сомножителей:
   Решение: Разложение на простые множители: \[ 533 = 13 \times 41;\quad 533533533533 = 7 \times 11 \times 13 \times 13 \times 41 \times 101 \times 9901. \] Группировкой \(13 \times 13 = 169\) получаем: \(7, 11, 169, 41, 101, 9901\).
   Ответ: \(7 \times 11 \times 13^2 \times 41 \times 101 \times 9901\).
6. Посчитать клетки буквы П ширины 70, высоты 60, толщиной 6 клеток:
   Решение: Две вертикальные ножки: \(2 \times 6 \times 60 = 720\). Перекладина: \(70 \times 6 = 420\). Перекрытие: \(2 \times 6 \times 6 = 72\). Итого: \(720 + 420 - 72 = 1068\).
   Ответ: 1068 клеток.
7. Найти расстояние между A и B для мотоциклистов:
   Решение: Обозначим расстояние как \(D\). Из условия следует система уравнений, решение которой приводит к \(D = 91\) км.
   Ответ: 91 км.
8. Определить возраст капитана:
   Решение: Проведя расчёты на основе высказываний членов команды и среднего возраста 28 лет, получаем возраст капитана 38 лет.
   Ответ: 38 лет.
9. Найти площадь катка странной формы:
   Решение: Использование формулы Пика: внутренние узлы \(I = 18\), граничные \(B = 18\). \[ Площадь = I + \frac{B}{2} - 1 = 18 + 9 - 1 = 26. \]
   Ответ: 26 кв. м.
10. Определить под каким деревом клад:
    Решение: Выясняем, что таблички на ёлке и сосне противоречат друг другу, значит, клад под берёзой.
    Ответ: Под берёзой.