Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 4

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 4

1. Выполните по действиям:
   $(28769 - (29 + 244)\cdot29) : (12832 : 32)$
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $70 - \bigl(637 : (x : 3 + 4)\bigr) = 21$
3. Решите задачу по действиям:
   Верёвку длиной 5 м 40 см разрезали на 6 верёвок длиной 50 см и несколько верёвок длиной 40 см. Сколько верёвок длиной 40 см получилось?
4. Решите задачу по действиям:
   Машина везёт пол-литровые бутылки воды. Упаковки сложены в 3 слоя. В каждом слое 7 рядов по 5 упаковок. В каждой упаковке 15 бутылок. Сколько всего воды в машине? (ответ дайте в литрах и миллилитрах)
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Произведение двух чисел на 48 больше первого числа и в 8 раз больше второго числа. Найдите это произведение и объясните, почему других вариантов нет.
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   Прямоугольник и квадрат имеют общую сторону, при этом площадь прямоугольника в три раза больше площади квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если периметр квадрата 16 см.
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Два автомобиля выехали со стоянки одновременно в одном направлении. Первый проезжает 3 км за 4 мин, второй — 4 км за 3 мин. Какое расстояние будет между ними через час?
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Два кирпича на 1200 г тяжелее, чем четыре доски, а один кирпич на 2 кг легче, чем четыре доски. Найдите вес одного кирпича.
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Периметр картины с рамой равен 5 м, периметр картины без рамы равен 4 м. Найдите ширину рамы.
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Четверо учеников пытались отгадать возраст учителя: Саша: Учителю больше 40 лет. Паша: Учителю меньше 30 лет. Маша: Учителю не меньше 40 лет. Даша: Маша права. Оказалось, что ровно двое ошиблись. Найдите возраст учителя и объясните, почему не может быть другого ответа.

Решения задач

1. Выполните по действиям: $(28769 - (29 + 244)\cdot29) : (12832 : 32)$
   Решение:
   $29 + 244 = 273$
   $273 \cdot 29 = 273 \cdot 30 - 273 = 8190 - 273 = 7917$
   $28769 - 7917 = 20852$
   $12832 : 32 = 401$
   $20852 : 401 = 52$
   Ответ: 52.
2. Решите уравнение, сделайте проверку: $70 - \bigl(637 : (x : 3 + 4)\bigr) = 21$
   Решение:
   $70 - \frac{637}{\frac{x}{3} + 4} = 21$
   $\frac{637}{\frac{x}{3} + 4} = 49$
   $\frac{x}{3} + 4 = \frac{637}{49} = 13$
   $\frac{x}{3} = 9$
   $x = 27$
   Проверка: $\frac{637}{\frac{27}{3} + 4} = \frac{637}{13} = 49; \quad 70 - 49 = 21$ — верно.
   Ответ: 27.
3. Решите задачу по действиям: Верёвку длиной 5 м 40 см разрезали на 6 верёвок длиной 50 см и несколько верёвок длиной 40 см. Сколько верёвок длиной 40 см получилось?
   Решение:
   $5\,м\,40\,см = 540\,см$
   $6 \cdot 50 = 300\,см$ (общая длина верёвок по 50 см)
   $540 - 300 = 240\,см$ (остаток)
   $240 : 40 = 6$ (количество верёвок по 40 см)
   Ответ: 6.
4. Решите задачу по действиям: Машина везёт пол-литровые бутылки воды. Упаковки сложены в 3 слоя. В каждом слое 7 рядов по 5 упаковок. В каждой упаковке 15 бутылок. Сколько всего воды в машине?
   Решение:
   $3 \cdot 7 \cdot 5 = 105$ упаковок
   $105 \cdot 15 = 1575$ бутылок
   $1575 \cdot 0,5\,л = 787,5\,л = 787\,л\,500\,мл$
   Ответ: 787 л 500 мл.
5. Решите задачу, объяснив ход решения: Произведение двух чисел на 48 больше первого числа и в 8 раз больше второго числа. Найдите это произведение.
   Решение:
   Пусть числа $a$ и $b$. По условию:
   $ab = a + 48$ и $ab = 8b$
   Из второго уравнения: $a = 8$
   Подставляем в первое: $8b = 8 + 48 \Rightarrow 8b = 56 \Rightarrow b = 7$
   Произведение: $8 \cdot 7 = 56$
   Проверка: $56 - 8 = 48$; $56 : 7 = 8$ — условия выполнены.
   Ответ: 56.
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу: Прямоугольник и квадрат имеют общую сторону, при этом площадь прямоугольника в три раза больше площади квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если периметр квадрата 16 см.
   Решение:
   Сторона квадрата: $16 : 4 = 4\,см$
   Площадь квадрата: $4^2 = 16\,см^2$
   Площадь прямоугольника: $3 \cdot 16 = 48\,см^2$
   Общая сторона — 4 см. Вторая сторона прямоугольника: $48 : 4 = 12\,см$
   Периметр прямоугольника: $2 \cdot (4 + 12) = 32\,см$
   Ответ: 32 см.
7. Нарисуйте схему и решите задачу: Два автомобиля выехали со стоянки одновременно в одном направлении. Первый проезжает 3 км за 4 мин, второй — 4 км за 3 мин. Какое расстояние будет между ними через час?
   Решение:
   Скорость первого: $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45\,км/ч$
   Скорость второго: $\frac{4}{3} \cdot 60 = 80\,км/ч$
   Разность скоростей: $80 - 45 = 35\,км/ч$
   Расстояние через час: $35 \cdot 1 = 35\,км$
   Ответ: 35 км.
8. Решите задачу, объяснив ход решения: Два кирпича на 1200 г тяжелее, чем четыре доски, а один кирпич на 2 кг легче, чем четыре доски. Найдите вес одного кирпича.
   Решение:
   Пусть $К$ — вес кирпича, $Д$ — вес доски.
   $\begin{cases} 2К = 4Д + 1200 \\ К = 4Д - 2000 \end{cases}$
   Подставляем второе уравнение в первое:
   $2(4Д - 2000) = 4Д + 1200$
   $8Д - 4000 = 4Д + 1200 \Rightarrow 4Д = 5200 \Rightarrow Д = 1300\,г$
   $К = 4 \cdot 1300 - 2000 = 3200\,г = 3,2\,кг$
   Ответ: 3,2 кг.
9. Решите задачу, объяснив ход решения: Периметр картины с рамой равен 5 м, периметр картины без рамы равен 4 м. Найдите ширину рамы.
   Решение:
   Пусть ширина рамы $x$ м. Тогда габариты картины с рамой увеличиваются на $2x$ по длине и ширине.
   Периметр с рамой: $2(a + 2x + b + 2x) = 2(a + b) + 8x = 5$
   Периметр без рамы: $2(a + b) = 4$
   Подставляем: $4 + 8x = 5 \Rightarrow 8x = 1 \Rightarrow x = 0,125\,м = 12,5\,см$
   Ответ: 12,5 см.
10. Решите задачу, объяснив ход решения: Четверо учеников пытались отгадать возраст учителя. Оказалось, что ровно двое ошиблись. Найдите возраст учителя.
    Решение:
    Если учителю 40 лет:
    Саша (>40) — ошибся; Паша (<30) — ошибся; Маша (≥40) — верно; Даша (поддержала Машу) — верно. Ошибок 2 — соответствует условию.
    Если возраст >40: ошибок только Паша, Саша и Маша правы ⇒ ошибок 1.
    Если возраст 30-39: ошибки Саша и Маша ⇒ Паша прав (но Паша сказал <30) ⇒ противоречие.
    Единственный вариант: 40 лет.
    Ответ: 40 лет.