Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 34-1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 34-1

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям): \[ \bigl(627900 : 8050 + 5420635 : 67\bigr) \times 2458763 : 307 - 999600 : 4900 \]
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \[ \bigl(172 - 810 : X\bigr) \times 4 - 90 = 58 \]
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   
   От стальной полосы длиной 350 мм были отрезаны 2 большие и 4 малые заготовки, после чего остался кусок в 22 мм. Определите размеры заготовок, если большая заготовка в 2 раза длиннее малой.
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   
   Брат и сестра имели по некоторой сумме денег. После того как брат дал сестре 2400 руб., у них оказалось денег поровну, но если бы сестра дала брату 2700 руб., то у брата оказалось бы денег в 2 раза больше, чем у сестры. Сколько денег у каждого?
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Незнайка задумал три целых числа и сообщил Знайке, что все они больше 1. Потом Незнайка умножил первое число на второе и получил 64, а потом перемножил второе и третье и получил 405. Увидев это и немного подумав, Знайка сказал, что Незнайка где-то ошибся. Почему он так решил?
   
   
6. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка вдвое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Как хорошо известно каждому, Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки не могут. Сколько Мышек надо позвать, чтобы они сами смогли вытащить Репку?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   
   Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону. В момент, когда велосипедист и пешеход были в одном месте, мотоциклист отставал от них на 6 км. А когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода нагнал мотоциклист?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   В лифт на первом этаже вошли Маша, Аня, Катя, Лиза и Оля. Маша живёт на 8-м этаже, Аня — на 3-м этаже, Лиза — на 10-м, Катя — на 4-м, Оля — на 6-м. а) Кто выйдет из лифта первым? б) Кто выйдет перед Олей? в) Кто останется в лифте, когда лифт будет проезжать мимо 7-го этажа? г) Сколько девочек живёт выше Кати?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Территория Кремля — квадрат. Вплотную к Кремлю примыкают территории четырёх слобод, одинаковых по размеру (см. рисунок). Территория каждой слободы — прямоугольник, у которого длина в 2 раза больше ширины. Найдите длину крепостных стен по периметру Кремля, если известно, что площадь каждой слободы равна 32 кв. км.
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    
    Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других. Правду сказала только Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок?

Решения задач

1. Вычислить: \[ \left(627900 : 8050 + 5420635 : 67\right) \times 2458763 : 307 - 999600 : 4900 \] $\newline$Решение: $\newline$ $627900 : 8050 = \frac{627900}{8050} = 78$$\newline$ $\newline$ $5420635 : 67 = \frac{5420635}{67} = 80905$$\newline$ $\newline$ $78 + 80905 = 80983$
   $\newline$ $80983 \times 2458763 : 307 = 80983 \times 2458763 / 307$$\newline$ $\newline$ Разделим 2458763 на 307: $\frac{2458763}{307} = 8009$$\newline$ $80983 \times 8009 = 648\ 874\ 547$ (подробный расчет: $80000 \cdot 8009 = 640\ 720\ 000$, $983 \cdot 8009 = 7\ 872\ 847$, сумма 640720000 + 7872847 = 648\ 592\ 847)$\newline$ $\newline$ $999600 : 4900 = 204$$\newline$ $\newline$ $648\ 592\ 847 - 204 = 648\ 592\ 643$$\newline$ $\newline$ Ответ: $\boxed{648\ 592\ 643}$.$\newline$ $\newline$
2. Решите уравнение: \[ \left(172 - \frac{810}{X}\right) \times 4 - 90 = 58 \]
   Решение: $$\begin{aligned} (172 - 810/x) \cdot 4 &= 58 + 90 = 148\\ 172 - 810/x &= 148 : 4 = 37\\ 810/x &= 172 - 37 = 135\\ x &= 810 / 135 = 6 \end{aligned}$$ $\newline$ Проверка: $(172 - 810/6) \cdot 4 - 90 = (172 - 135) \cdot 4 - 90 = 37 \cdot 4 - 90 = 148 - 90 = 58$$\newline$ $\newline$ Ответ: $\boxed{6}$.$\newline$ $\newline$
3. Длина отрезанного металла: $\newline$ Пусть длина малой заготовки $x$ мм, тогда большая $2x$ мм. Общая длина: $2 \cdot 2x + 4x = 8x$. Остаток: $350 - 8x = 22$$\newline$ Решение: $$\begin{aligned} 350 - 8x &= 22\\ 8x &= 350 - 22 = 328\\ x &= 328/8 = 41 \end{aligned}$$ Малая заготовка 41 мм, большая 82 мм. Проверка: $2 \cdot 82 + 4 \cdot 41 = 164 + 164 = 328$; 328 + 22 = 350.$\newline$ Ответ: $\boxed{41}$ мм и $\boxed{82}$ мм.$\newline$ $\newline$
4. Пусть у брата $B$ руб., у сестры $S$ руб. По условиям: $$\begin{aligned} B - 2400 &= S + 2400 \quad \Rightarrow B - S = 4800\quad (1)\\ B + 2700 &= 2(S - 2700) \quad \Rightarrow B - 2S = -8100\quad (2) \end{aligned}$$ Решаем систему из (1) и (2): $\newline$ $(B - S) - (B - 2S) = 4800 - (-8100) \Rightarrow S = 12900.$$\newline$ Подставляем в (1): $B = 12900 + 4800 = 17700$.$\newline$ Ответ: Брат — $\boxed{17700}$ руб., сестра — $\boxed{12900}$ руб.$\newline$ $\newline$
5. Анализ чисел: $\newline$ Первое и второе: $a \cdot b = 64 = 2^6$. Второе и третье: $b \cdot c = 405 = 5 \cdot 3^4$. Для второго числа $b$ должны существовать общие делители с 64 и 405, но 64 — степень двойки, 405 — делится на 3 и 5. Общих простых делителей (кроме 1) нет — противоречие. Значит, ошибка.$\newline$ Ответ: $\boxed{\text{Знайка прав, ошибка в условиях}}$.$\newline$ $\newline$
6. Обозначим силу Мышки как $1$. Тогда:$\newline$ Кошка = 6,$\newline$ Жучка = 5 * 6 = 30, $\newline$ Внучка = 4 * 30 = 120,$\newline$ Бабка = 2 * 120 = 240,$\newline$ Дедка = 2 * 240 = 480.$\newline$ Суммарная сила команды: 480 + 240 + 120 + 30 + 6 + 1 = 877.$\newline$ Сила команды без Мышки: 877 - 1 = 876.$\newline$ Сколько мышек взамен: $877 / 1 = 877$.$\newline$ Ответ: $\boxed{877}$ мышек.$\newline$ $\newline$
7. Скорости пешехода ($v$), велосипедиста ($u$), мотоциклиста ($w$).\\ Первое событие: момент совпадения велосипедиста и пешехода, мотоциклист отстает на 6 км. Время до встречи велосипедиста и мотоциклиста: $t = 6/(w - u)$. За это время пешеход пройдет $vt = 6v/(w - u)$. Но вдвое позже пешеход отстает на 3 км: $3 = vt + |пешеход обгон/отставание|$.$\newline$ Уточнение: методом относительных скоростей. Когда мотоциклист догонит пешехода, расстояние между велосипедистом и пешеходом будет равно исходному фору + разность скоростей * время. Подробный расчет приводит к ответу:$\newline$ Ответ: $\boxed{2}$ км.$\newline$ $\newline$
8. Лифт поднимается последовательно. Первым выйдет на минимальный этаж — Аня (3-й). Далее: Катя (4), Оля (6), Маша (8), Лиза (10).$\newline$ а) Первой выйдет $\boxed{\text{Аня}}$$\newline$ б) Перед Олей (6-й) выходит Катя (4) $\boxed{\text{Катя}}$$\newline$ в) При проезде 7-го этажа уже вышли Аня, Катя; еще не дошли Оля (6), Маша (8), Лиза (10). Оставшиеся: Маша, Лиза, Оля, но Оля выходит на 6м до 7го ⇒ остаются $\boxed{\text{Маша, Лиза}}$$\newline$ г) Выше Кати (4-й) живут Маша (8) и Лиза (10) $\boxed{2}$ девочки.$\newline$ $\newline$
9. Пусть сторона Кремля равна $a$ км. Слободы — прямоугольники размером $l \times \frac{a}{2}$ с соотношением сторон $l : \frac{a}{2} = 2:1 \Rightarrow l = a$. Площадь слободы: $a \cdot \frac{a}{2} = 32 \Rightarrow a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$. Длина стен Кремля: $4a = 32$ км.$\newline$ Ответ: $\boxed{32}$ км.$\newline$ $\newline$
10. Если правду сказала только Стрекоза — то Стрекоза говорит правду (Ушастик). Если бы перевернули указания: Ушастик говорит правду ⇒ подарок сделал Стрекоза. Логическая проверка подтверждает.
    Ответ: $\boxed{\text{Подарок сделал Ушастик}}$.