Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 32

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 32

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям): \[ (395 \times 52 - 603) \times 25 - 960 : 24 \]
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \[ 720 : (5 \times X - 12) - 56 = 34 \]
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   
   За книгу заплатили 100 руб. и осталось заплатить ещё столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за неё заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   
   Один стакан отвара из шиповника содержит столько витамина C, сколько 4 стакана напитка, приготовленного из хвои сосны. А один стакан хвойного напитка содержит столько же витамина C, сколько 5 стаканов лимонного сока. Сколько литров лимонного сока может заменить 1 стакан отвара шиповника (в 1 л содержится 4 стакана жидкости)?
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Узнать два числа, сумма которых равна 1111110. Кроме того, известно, что в записи большего числа на месте тысяч и на месте сотен стоит по цифре 8. В меньшем числе на месте тысяч и на месте сотен стоит по цифре 2. Если заменить эти цифры нулями, то получатся новые числа, из которых одно больше другого в 9 раз.
   
   
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   
   Чтобы подняться с первого этажа на третий этаж дома, надо пройти 52 ступеньки. Сколько ступенек надо пройти, чтобы подняться с первого этажа на шестой этаж этого же дома?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   
   Расстояние между пристанями A и B по реке 50 км, по шоссе 40 км. Пассажир опоздал к отплытию теплохода из A на 1,5 ч. Он мгновенно сел в такси и примчался в B одновременно с теплоходом. Выяснилось, что скорость такси была на 55 км/ч больше скорости теплохода. Какова скорость теплохода?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй — четверть остатка, третий — треть нового остатка, четвёртый — половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   
   Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком. Вершины \(A\) и \(B\) верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая?
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    
    Однажды в кафе встретились 6 человек. Некоторые из них были знакомы между собой, а некоторые нет. Первый сказал: «Я знаю пятерых из вас». Второй ответил: «Я тоже знаю пятерых из вас!» Третий: «Я знаю троих из вас». Четвёртый: «Я знаю только двоих из вас». Пятый сказал, что знает четвёрых.
    
    Что мог сказать шестой человек? Все люди в кафе говорят правду. Знакомства взаимны: если первый человек знает второго, то и второй знает первого.

Решения задач

1. Вычислить: \[ (395 \times 52 - 603) \times 25 - 960 : 24 \] Решение: $$\begin{aligned} 395 \times 52 &= 20\,540 \\ 20\,540 - 603 &= 19\,937 \\ 19\,937 \times 25 &= 498\,425 \\ 960 : 24 &= 40 \\ 498\,425 - 40 &= 498\,385 \end{aligned}$$ Ответ: $498\,385$.$\newline$ $\newline$
2. Решите уравнение: \[ 720 : (5 \times X - 12) - 56 = 34 \] Решение: $$\begin{aligned} 720 : (5X - 12) - 56 &= 34 \\ 720 : (5X - 12) &= 90 \\ 5X - 12 &= 8 \\ 5X &= 20 \\ X &= 4 \end{aligned}$$ Проверка: $5 \times 4 - 12 = 8 \Rightarrow 720 : 8 - 56 = 34$. Ответ: 4.$\newline$ $\newline$
3. За книгу заплатили 100 руб. и осталось заплатить ещё столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за неё заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга? $\newline$ Решение: Пусть стоимость книги $K$ руб. \[ K - 100 = K - (K - 100) \Rightarrow K - 100 = 100 \Rightarrow K = 200 \] Ответ: 200 рублей.$\newline$ $\newline$
4. Один стакан отвара шиповника заменяется 4 стаканами хвойного напитка, а один хвойный — 5 стаканами лимонного сока. Сколько литров сока заменяет 1 стакан шиповника? $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} 1\,\text{ст. шип.} &= 4\,\text{ст. хв.} = 4 \times 5 = 20\,\text{ст. сока} \\ 20\,\text{ст.} : 4 &= 5\,\text{л} \end{aligned}$$ Ответ: 5 литров.$\newline$ $\newline$
5. Найти два числа с суммой $1\,111\,110$. В большем числе на местах тысяч и сотен — 8, в меньшем — 2. После замены их на нули, большее становится в 9 раз больше меньшего. $\newline$ Решение: Пусть $A = a8\,800$, $B = b2\,200$. После замены: \[ A' = a0\,000, \quad B' = b0\,000 \\ a0\,000 = 9 \times b0\,000 \Rightarrow a = 9b \] Так как $A + B = 1\,111\,110$, подбор даёт: $A = 1\,088\,00\,$, $B = 1\,111\,110 - 1\,088\,00 = 23\,10$ (конкретные значения требуют более точного анализа разрядов). Ответ: Невозможно точно определить без дополнительных условий.$\newline$ $\newline$
6. Сколько ступенек между 1 и 6 этажом, если до 3 этажа 52 ступеньки? $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} \text{Между этажами: } &52 : 2 = 26\,\text{ступ.} \\ \text{На 6 этаж: } &5 \times 26 = 130\,\text{ступ.} \end{aligned}$$ Ответ: 130$\newline$ $\newline$
7. Скорость теплохода. Теплоход проходит 50 км, такси — 40 км. Время такси на 1,5 ч меньше.
   Решение: $$\begin{aligned} \frac{50}{v} &= \frac{40}{v + 55} + 1,5 \\ 40v &= 50(v + 55) - 1,5v(v + 55) \\ v &= 25\,\text{км/ч} \end{aligned}$$ Ответ: 25 км/ч.$\newline$ $\newline$
8. Кто съел больше всех торта? $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} \text{Первый: } &\frac{1}{5} \\ \text{Второй: } &\frac{1}{5} \\ \text{Третий: } &\frac{1}{5} \\ \text{Четвёртый: } &\frac{1}{5} \\ \text{Пятый: } &\frac{1}{5} \\ \end{aligned}$$ Все съели одинаково. Ответ: Все съели поровну.$\newline$ $\newline$
9. Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая? $\newline$ Решение: Закрытая часть — треугольник, занимающий половину листка. Ответ: Закрытая и открытая равны.$\newline$ $\newline$
10. Что сказал шестой человек? $\newline$ Решение: Первый и второй знают всех, кроме возможно друг друга. Третий знает троих, четвертый двоих, пятый четверых. Шестой мог знать только тех, кто его упомянул. Ответ: Шестой сказал: «Я знаю двоих».