Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 26

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 26

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям):
   $15 + (12322 : (24 + 37) - 12 \times 15) : (35 \times 2 - 59)$
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $10 : ((8 \times X + 24) : 5 : 4 + 6) = 1$
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   В двух аквариумах вместе 100 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 30 рыбок, а из второго 40, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 24 копейки». Трижды перешёл лодыpь мост — и остался совсем без денег (то есть отдал в третий раз черту те 24 копейки, что оказались у него к этому моменту). Сколько денег было у лодыpя первоначально?
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Сумма двух чисел равна 38570. Разделив одно число на другое, получим в частном 3 и в остатке 922. Найти эти числа.
   
   
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   От прямоугольника с двух противоположных сторон отрезали по квадрату так, что получился новый прямоугольник. Периметр получившегося прямоугольника оказался на 56 см меньше периметра первоначального прямоугольника. Найдите периметр каждого квадрата.
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Из города A в город B выехал пассажирский поезд. Одновременно с ним из B в A выехал товарный поезд. Пассажирский поезд через 4 ч 48 мин после выезда встретил товарный и ещё через 3 ч 12 мин прибыл в B. За сколько времени товарный поезд проходит путь из B в A?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   На викторине было предложено 12 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 10 баллов, а за неправильный снимали 8 баллов. Сколько правильных ответов дал один из участников викторины, если он набрал 30 баллов?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   На рисунке изображён девятиугольник, составленный из равностороннего треугольника, прямоугольника и квадрата. Сторона треугольника равна 24 см, периметры всех трёх фигур одинаковы. Чему равен периметр девятиугольника?
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    В лавке старьевщика Аладдин увидел три древние лампы: золотую, серебряную и бронзовую, в которых жили добрый и злой джинны. Надпись на золотой лампе гласила: «Здесь живет добрый джинн». На серебряной была надпись «Бронзовая лампа пуста». На бронзовой лампе было написано «Здесь живёт злой джинн». Какую лампу должен выбрать Аладдин, если ему нужен добрый джинн, а все надписи неправильные?
    
    

Решения задач

1. Вычислить: $15 + (12322 : (24 + 37) - 12 \times 15) : (35 \times 2 - 59)$
   Решение: $$\begin{aligned} 1.&\quad 24 + 37 = 61\\ 2.&\quad 12322 : 61 = 202\\ 3.&\quad 12 \times 15 = 180\\ 4.&\quad 202 - 180 = 22\\ 5.&\quad 35 \times 2 = 70\\ 6.&\quad 70 - 59 = 11\\ 7.&\quad 22 : 11 = 2\\ 8.&\quad 15 + 2 = 17 \end{aligned}$$ Ответ: 17.$\newline$ $\newline$
2. Решите уравнение: $10 : ((8 \times X + 24) : 5 : 4 + 6) = 1$ $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} 10 : ((8x + 24) : 20 + 6) &= 1\\ (8x + 24) : 20 + 6 &= 10\\ (8x + 24) : 20 &= 4\\ 8x + 24 &= 80\\ 8x &= 56\\ x &= 7 \end{aligned}$$ Проверка: $10 : ((8 \cdot 7 + 24) : 20 + 6) = 10 : (80 : 20 + 6) = 10 : (4 + 6) = 1$. Ответ: 7.$\newline$ $\newline$
3. В двух аквариумах вместе 100 рыбок. После отселения осталось поровну. $\newline$ Решение: Пусть в первом аквариуме $x$ рыбок, во втором $100 - x$. $$\begin{aligned} x - 30 &= (100 - x) - 40\\ x - 30 &= 60 - x\\ 2x &= 90\\ x &= 45\\ 100 - x &= 55 \end{aligned}$$ Ответ: 45 и 55.$\newline$ $\newline$
4. Задача о лодыре и черте. $\newline$ Решение (обратный ход): $$\begin{aligned} 3\text{-й переход:} &\quad (0 + 24) / 2 = 12 \text{ коп.}\\ 2\text{-й переход:} &\quad (12 + 24) / 2 = 18 \text{ коп.}\\ 1\text{-й переход:} &\quad (18 + 24) / 2 = 21 \text{ коп.} \end{aligned}$$ Ответ: 21 копейка.$\newline$ $\newline$
5. Сумма двух чисел 38570 с частным 3 и остатком 922. $\newline$ Решение: Пусть числа $a$ и $b$: $$\begin{aligned} a + b &= 38570\\ a &= 3b + 922\\ 3b + 922 + b &= 38570\\ 4b &= 37648\\ b &= 9412\\ a &= 3 \cdot 9412 + 922 = 29158 \end{aligned}$$ Ответ: 29158 и 9412.$\newline$ $\newline$
6. Задача о прямоугольнике и квадратах. $\newline$ Решение: Пусть сторона квадрата $x$ см. Разница периметров: $$\begin{aligned} 2(L + W) - 2((L - 2x) + W) &= 56\\ 4x &= 56\\ x &= 14 \text{ см} \end{aligned}$$ Периметр квадрата: $4 \cdot 14 = 56$ см. Ответ: 56 см.$\newline$ $\newline$
7. Задача о поездах. $\newline$ Решение: Пусть $S$ — расстояние между городами, $V_p$ — скорость пассажирского, $V_t$ — товарного: $$\begin{aligned} S &= 4.8(V_p + V_t)\\ S &= 8V_p \quad (\text{так как } 4.8 + 3.2 = 8 \text{ часов})\\ 8V_p &= 4.8(V_p + V_t)\\ 3.2V_p &= 4.8V_t\\ V_t &= \frac{2}{3}V_p\\ t &= \frac{S}{V_t} = \frac{8V_p}{\frac{2}{3}V_p} = 12 \text{ часов} \end{aligned}$$ Ответ: 12 часов.$\newline$ $\newline$
8. Викторина с 12 вопросами. $\newline$ Решение: Пусть правильных ответов $x$: $$\begin{aligned} 10x - 8(12 - x) &= 30\\ 18x &= 126\\ x &= 7 \end{aligned}$$ Ответ: 7.$\newline$ $\newline$
9. Девятиугольник с равными периметрами. $\newline$ Решение: Периметр треугольника: $3 \cdot 24 = 72$ см. Так как периметры всех фигур равны 72 см, периметр девятиугольника равен сумме уникальных сторон. Предположим, девятиугольник наследует периметр одной из фигур: Ответ: 72 см.$\newline$ $\newline$
10. Лампы с ложными надписями. $\newline$ Решение:
    • Надпись на золотой ложна ⇒ здесь злой джинн или лампа пуста.
    • Надпись на серебряной ложна ⇒ бронзовая лампа не пуста.
    • Надпись на бронзовой ложна ⇒ здесь добрый джинн.
    Ответ: бронзовую лампу.