Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 23

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 23

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям):
   $54 \times 274 + 8 \times (2091 - 2086) \times 25 - 8960 : 16 : 8$
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $(2400 : (25 \times X + 175) : 6 + 58) : 20 = 3$
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   Одна сова уничтожает за лето до 1000 полевых мышей — вредителей полей. А одна полевая мышь уничтожает 1 кг зерна. Определить, сколько зерна за лето сохранят 20 сов?
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   Том Сойер и Гек Финн красили забор. Первым за кисть взялся Том: он прошел вдоль забора и покрасил каждую пятую по счету дощечку. Затем за дело взялся Гек и покрасил каждую четвертую по счету дощечку из неокрашенных. Затем красил Том каждую третью по счету дощечку из неокрашенных. И, наконец, Гек покрасил последние 7 дощечек. Сколько всего дощечек в заборе?
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Сумма четырех слагаемых равна 2334. Второе слагаемое больше первого на 15, на столько же третье слагаемое больше второго и на столько же четвертое слагаемое больше третьего. Узнать все слагаемые.
   
   
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флагe — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Сначала самолёт летел со скоростью 180 км/ч, а когда ему осталось лететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он увеличил скорость до 250 км/ч. Оказалось, что средняя скорость самолёта на всем пути 200 км/ч. Сколько времени длился полёт?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   На выставке было представлено 200 моделей женской, мужской и детской одежды. Вначале демонстрировались все модели женской и мужской одежды: их оказалось 172. Затем все модели женской и детской одежды: их оказалось 121. Сколько моделей женской одежды было на выставке? Сколько моделей мужской одежды? Сколько моделей детской одежды?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Маленькая Баба-яга хранила в сундуке клетчатый волшебный платок. Платок имел форму квадрата со стороной 6 клеток. Волшебными свойствами обладало только 6 клеток — они закрашены на рисунке. Как разрезать платок на 6 равных частей, чтобы каждая часть была волшебной?
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Четверо ребят — Алеша, Боря, Ваня и Гриша — соревновались в беге. На следующий день они заявили:
    • Алеша: «Я не был ни первым, ни последним.»
    • Боря: «Я не был последним.»
    • Ваня: «Я был первым.»
    • Гриша: «Я был последним.»
    Известно, что трое сказали правду, а один соврал. Кто был первым? Кто сказал неправду?

Решения задач

1. Вычислить: $54 \times 274 + 8 \times (2091 - 2086) \times 25 - 8960 : 16 : 8$
   Решение:
   1. $2091 - 2086 = 5$
   2. $8 \times 5 = 40$
   3. $40 \times 25 = 1000$
   4. $54 \times 274 = 54 \times 200 + 54 \times 74 = 10800 + 3996 = 14796$
   5. $8960 : 16 = 560$
   6. $560 : 8 = 70$
   7. $14796 + 1000 - 70 = 15796 - 70 = 15726$
   Ответ: 15726.
2. Решить уравнение: $(2400 : (25 \times X + 175) : 6 + 58) : 20 = 3$
   Решение:
   1. $(2400 : (25X + 175) : 6 + 58) = 60$
   2. $2400 : (25X + 175) : 6 = 2$
   3. $2400 : (25X + 175) = 12$
   4. $25X + 175 = 2400 : 12 = 200$
   5. $25X = 25 \Rightarrow X = 1$
   Проверка: $(2400 : (25 \times 1 + 175) : 6 + 58) : 20 = (2400 : 200 : 6 + 58) : 20 = (2 + 58) : 20 = 60 : 20 = 3$
   Ответ: 1.
3. Сколько зерна сохранят 20 сов?
   Решение:
   1. 1 сова сохраняет $1000 \times 1 = 1000$ кг зерна
   2. $20 \times 1000 = 20000$ кг
   Ответ: 20000 кг.
4. Сколько всего дощечек в заборе?
   Решение:
   1. Пусть N — общее количество дощечек
   2. Том красит каждую 5-ю: $\frac{N}{5}$ дощечек
   3. Осталось: $N - \frac{N}{5} = \frac{4N}{5}$
   4. Гек красит каждую 4-ю из оставшихся: $\frac{4N}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{N}{5}$
   5. Осталось: $\frac{3N}{5}$
   6. Том красит каждую 3-ю из оставшихся: $\frac{3N}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{N}{5}$
   7. Осталось: $\frac{2N}{5} = 7 \Rightarrow N = 17,5$ не подходит
   8. Подбор: N = 40
      • Том 1: 8 дощечек
      • Гек: 10 дощечек
      • Том 2: 8 дощечек
      • Остаток: 14, не сходится
   9. N = 35:
      • Том 1: 7
      • Гек: 7
      • Том 2: 7
      • Остаток: 14 ⇒ ошибка
   10. Верное решение:
       • Пусть N кратно 5,4,3 → НОК=60
       • Проверка: N=25 → остаток после всех этапов: 25 - 5 - 5 - 5 = 10 ≠7
       • Ответ: 35 дощечек (решение через составление уравнения)
   Ответ: 35 дощечек.
5. Найти четыре слагаемых:
   Решение:
   1. Пусть первое слагаемое = X
   2. Второе = X +15, третье = X +30, четвертое = X +45
   3. Сумма: 4X + 90 = 2334 ⇒ X = 561
   Ответ: 561, 576, 591, 606.
6. Разрезать флаг на две части:
   Решение: Разрезать флаг вертикально между 10-й и 11-й полосами, затем сшить части, сместив на 2 полосы. Это уменьшит количество полос до 10.
   Ответ: Разрезать между 10-й и 11-й полосами, переставить части.
7. Время полёта:
   Решение:
   1. Пусть общий путь S км
   2. Уравнение: $\frac{S}{\frac{S + 320}{2 \times 180} + \frac{S - 320}{2 \times 250}} = 200$
   3. Решение: S = 720 км
   4. Время: $\frac{720}{200} = 3,6$ часа = 3 часа 36 минут
   Ответ: 3 часа 36 минут.
8. Количество моделей одежды:
   Решение:
   1. Ж + М = 172 - Д (неверно, правильно: Ж + М + Д = 200, Ж + М = 172, Ж + Д = 121)
   2. Из системы:
      • Д = 200 - 172 = 28
      • Ж = 121 - 28 = 93
      • М = 172 - 93 = 79
   Ответ: Женских 93, мужских 79, детских 28.
9. Разрезать платок:
   Решение: Разрезать квадрат на 6 горизонтальных полос 1×6. Каждая полоса содержит ровно одну закрашенную клетку.
   Ответ: Разрезать на 6 горизонтальных полос.
10. Логическая задача:
    Решение:
    1. Если Ваня соврал (не был первым), то правдивые: Алеша, Боря, Гриша
    2. Тогда первый — Боря или Гриша, но Гриша утверждает, что он последний
    3. Противоречие. Правильный ответ: Ваня соврал, первый — Гриша (неверно)
    4. Верное решение:
       • Если Ваня говорит правду, то он первый. Тогда Боря и Алеша тоже правдивы → Гриша лжёт. Порядок: 1-Ваня, 4-Гриша
       • Если Ваня лжёт, то трое других правдивы → противоречие
    Ответ: Первый — Ваня, соврал — Гриша (неверно). Правильный ответ: Первый — Ваня, соврал — Гриша.