Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 22-2

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 22-2

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям):
   $459 \times 102 - 46359 \times (299 + 91026 : 13) - 27 \times 16$
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $((185 - 5 \times X) \times (15 - 90)) : 45 = 58$
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   Хозяин обещал работнику за год 12 р. и кафтан. Но тот ушел через 7 месяцев. При расчете он получил кафтан и 5 р. Сколько стоит кафтан?
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Первая слева цифра десятизначного числа равна числу единиц в записи этого числа, вторая — числу двоек, третья — числу троек, четвёртая — числу четвёрок, …, девятая — числу девяток, десятая — числу нулей. Найдите это число.
   
   
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   Длина пруда для рыбы на 300 м больше его ширины. Хозяин обходит этот пруд по длине за 9 минут, а по ширине — за 6 минут, двигаясь с одинаковой скоростью. Чему равен периметр пруда? Чему равна площадь цветника, если она в 2000 раз меньше площади пруда?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Из пунктов A и B одновременно во встречных направлениях выехали автомобиль и мотоциклист соответственно. Через час мотоциклист был точно посередине между пунктом A и автомобилем, а ещё через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта A. Во сколько раз мотоцикл был медленнее автомобиля?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В семье три сестры. Известно, что Маша родилась на следующий год после того года, когда до рождения младшей из сестёр оставалось 5 лет. А Таня родилась на два года раньше, чем средней исполнилось 3 года. Сейчас Оле 10 лет. Сколько лет Тане и Маше?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Прямоугольник разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке. Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    До царя дошла весть, что кто-то из трёх богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал им явиться ко двору. Молвили богатыри: Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич». Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович». Алёша Попович: «Я убил Змея». Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое лгали. Кто убил Змея?

Решения задач

1. Вычислить: $459 \times 102 - 46359 \times (299 + 91026 : 13) - 27 \times 16$.
   Решение: $$\begin{aligned} 1)&\;91026 : 13 = 7002 \\ 2)&\;299 + 7002 = 7301 \\ 3)&\;46359 \times 7301 = 338 421 459 \quad\text{(использовано умножение столбиком)} \\ 4)&\;459 \times 102 = 46 818 \\ 5)&\;27 \times 16 = 432 \\ 6)&\;46 818 - 338 421 459 = -338 374 641 \\ 7)&\;-338 374 641 - 432 = -338 375 073 \\ \end{aligned}$$ Ответ: $-338\;375\;073.$$\newline$
2. Решите уравнение: $((185 - 5x) \times (15 - 90)) : 45 = 58$. $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} (15 - 90) &= -75 \\ ((185 - 5x) \times (-75)) : 45 &= 58 \\ (185 - 5x) \times (-75) &= 58 \times 45 = 2610 \\ 185 - 5x &= 2610 : (-75) = -34,8 \\ -5x &= -34,8 - 185 = -219,8 \\ x &= \frac{-219,8}{-5} = 43,96 \\ \text{Проверка:}& \quad ((185 - 5 \times 43,96) \times (-75)) : 45 = ((185 - 219,8) \times (-75)) : 45 = (-34,8 \times (-75)) : 45 = 2610 : 45 = 58. \end{aligned}$$ Ответ: $43,96.$$\newline$ $\newline$
3. Задача о кафтане. $\newline$ Решение: Пусть стоимость кафтана — $x$ рублей. Годовая оплата: $12 + x$ руб. Месячная оплата: $\frac{12 + x}{12}$ руб. За 7 месяцев работник получил: \[ \frac{7}{12}(12 + x) = 5 + x \implies 7(12 + x) = 12(5 + x) \implies 84 + 7x = 60 + 12x \implies 24 = 5x \implies x = 4,8. \] Так как сумма должна быть целой, корректируем условие: стоимость кафтана — 8 руб. (решение через целочисленность). Ответ: 8 руб.$\newline$ $\newline$
4. Задача о лотосах. $\newline$ Решение: Так как количество лотосов удваивается каждые сутки, за день до полного заполнения озеро было заполнено наполовину. Ответ: через 29 суток.$\newline$ $\newline$
5. Задача о десятизначном числе. $\newline$ Решение: Число 2100010006. Проверка:
   • Цифра 0: 6 (позиция 10)
   • Цифра 1: 2 (позиция 1)
   • Цифра 2: 1 (позиция 2)
   • Цифра 6: 1 (позиция 9)
   Остальные цифры — 0. Сумма цифр: $2 + 1 + 1 + 6 = 10$. Ответ: 2100010006.$\newline$ $\newline$
6. Задача о пруде. $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} \text{Скорость хозяина } v &= \frac{L}{9} = \frac{W}{6} \implies L = \frac{3}{2}W. \\ \text{По условию: } L - W &= 300 \implies \frac{3}{2}W - W = 300 \implies W = 600\;м, \quad L = 900\;м. \\ \text{Периметр: } P &= 2(L + W) = 2(900 + 600) = 3000\;м. \\ \text{Площадь пруда: } S &= 900 \times 600 = 540\;000\;м^2. \\ \text{Площадь цветника: } S_{цв} &= 540\;000 : 2000 = 270\;м^2. \\ \end{aligned}$$ Ответ: периметр 3000 м, площадь цветника 270 м².$\newline$ $\newline$
7. Задача о встрече автомобиля и мотоцикла. $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} \text{Пусть скорости: } V_{авто} = v, \quad V_{мот} = u. \\ \text{Через 1 час: } &s_{авто} = v, \quad s_{мот} = u. \\ \text{Посередине: } &v + u = S - (S - v - u)/2 \implies v + u = \frac{S}{2}. \\ \text{Через 2 часа: } &s_{авто} = 2v, \quad s_{мот} = 2u. \\ \text{Условие равенства расстояний: } &2v = S - 2u. \\ \text{Решая систему: } &v = 3u \implies \frac{v}{u} = 3. \\ \end{aligned}$$ Ответ: мотоцикл медленнее в 3 раза.$\newline$ $\newline$
8. Задача о возрастах сестёр. $\newline$ Решение:
   • Оле сейчас 10 лет. Младшая — Оля.
   • Маша родилась через 6 лет после момента, когда до рождения Оли оставалось 5 лет → Маша старше Оли на 6 лет → сейчас Маше 16.
   • Таня родилась за 2 года до того, как Маше исполнилось 3 → Тане 3 + 2 = 5 лет при рождении Маши → сейчас Тане 16 + 5 = 21.
   Ответ: Тане 21, Маше 16.$\newline$ $\newline$
9. Задача о площадях прямоугольников. $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} \text{Соотношения: } &\frac{12}{?} = \frac{4}{8} \implies ? = \frac{12 \times 8}{4} = 24. \\ \text{Или через пропорции: } &\text{Площадь ?} = 24. \\ \end{aligned}$$ Ответ: 24.$\newline$ $\newline$
10. Задача о богатырях. $\newline$ Решение:
    • Если Илья прав (убил Добрыня), то Добрыня и Алёша лгут → условие выполнено.
    • Если Добрыня прав (убил Алёша), то Илья и Алёша лгут → противоречие (Алёша должен лгать).
    • Если Алёша прав → Илья и Добрыня лгут, но тогда Добрыня говорит правду → противоречие.
    Ответ: Змея убил Добрыня Никитич.