Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 20

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 20

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям):
   $(64 \cdot 125 + 128 \cdot 75) : 800 \cdot 5000 - (300 \cdot 400 + 5107 \cdot 800) : 70$
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $972 - 9 \cdot (x : 5 - 5 + 7) = 6 \cdot 6 + 7 \cdot 9$
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   Две автомашины перевезли 21 т груза, сделав по 6 рейсов. Определить грузоподъёмность каждой машины, если первая перевозила каждый раз на 500 кг меньше второй?
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   Лунная Скуперфильдовская макаронная фабрика (рабочим которой помогали коротышки) выпускает рожки, вермишель и лапшу. Все изделия фабрики упакованы в коробки по 500 г. На складе фабрики хранится 2870 коробок с лапшой, 7320 коробок с рожками и вермишелью, причём коробок с рожками на 200 больше, чем коробок с вермишелью. Какова масса вермишели, хранящейся на складе? Найди массу всех макаронных изделий, которые хранятся на складе лунной фабрики.
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу, или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?
   
   
6. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В порту идет погрузка контейнеров из вагонов состава на баржу. В составе 15 вагонов, в каждом вагоне 3 контейнера. Можно ли разместить все контейнеры в грузовом отсеке баржи, если грузовой отсек имеет форму прямоугольника размером 22 м на 12 м и каждый контейнер занимает площадку прямоугольной формы размером 2 м на 3 м (контейнеры не ставят друг на друга)?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Петя и Филя, поссорившись, разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 минут Филя спохватился, повернул назад и, увеличив скорость, побежал догонять Петю. Во сколько раз увеличил скорость Филя, если он догнал Петю через 5 минут после того, как повернул назад?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   У двух медвежат был килограммовый кусок сыра. Они разломили его на два неравных кусочка. Лиса решила помочь им сделать кусочки равными. Сначала она откусила от большего кусочка. Потом она откусила от меньшего кусочка половину того, что откусила от большего. Затем она откусила от большего кусочка столько же, сколько от меньшего, а от меньшего опять в два раза меньше, чем от большего. И наконец, она опять откусила от большего кусочка столько же, сколько от меньшего, а от меньшего в два раза меньше, чем от большего. После этого кусочки стали равными, а масса меньшего из первоначальных кусочков уменьшилась вдвое. Сколько сыра съела лиса?
   
   
9. Решите задачу, записав ход решения:
   Сколько треугольников изображено на каждом из рисунков?
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему правому соседу: «Я — полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?

Решения задач

1. Вычислить: $(64 \cdot 125 + 128 \cdot 75) : 800 \cdot 5000 - (300 \cdot 400 + 5107 \cdot 800) : 70$
   Решение: Разложим слагаемые:
   $128 \cdot 75 = 64 \cdot 2 \cdot 75 = 64 \cdot 150$
   $64 \cdot 125 + 64 \cdot 150 = 64 \cdot (125 + 150) = 64 \cdot 275 = 17\,600$
   $17\,600 : 800 = 22$; $22 \cdot 5000 = 110\,000$
   $300 \cdot 400 = 120\,000$; $5107 \cdot 800 = 4\,085\,600$; сумма $4\,205\,600$
   $4\,205\,600 : 70 = 60\,080$
   $110\,000 - 60\,080 = 49\,920$
   Ответ: $49\,920$.
2. Решить уравнение: $972 - 9 \cdot (x : 5 - 5 + 7) = 6 \cdot 6 + 7 \cdot 9$
   Решение: Упростим правую часть:
   $6 \cdot 6 + 7 \cdot 9 = 36 + 63 = 99$
   Уравнение: $972 - 9 \cdot (\frac{x}{5} + 2) = 99$
   $9 \cdot (\frac{x}{5} + 2) = 972 - 99 = 873$
   $\frac{x}{5} + 2 = 873 : 9 = 97$
   $\frac{x}{5} = 95 \quad \Rightarrow \quad x = 475$
   Проверка: $972 - 9 \cdot (95) = 972 - 855 = 99$ (верно)
   Ответ: 475.
3. Две автомашины перевезли 21 т груза, сделав по 6 рейсов. Грузоподъёмность второй машины $y$ кг, первой $y - 500$ кг.
   Решение: Сумма перевезённого:
   $6(y + (y - 500)) = 21\,000$
   $12y - 3\,000 = 21\,000 \quad \Rightarrow \quad 12y = 24\,000 \quad \Rightarrow \quad y = 2000$ кг
   Грузоподъёмность первой: $2000 - 500 = 1500$ кг
   Ответ: 1500 кг и 2000 кг.
4. Лунная фабрика: коробок с вермишелью $v$, рожками $v + 200$. Всего $2v + 200 = 7320$
   Решение:
   $2v = 7120 \quad \Rightarrow \quad v = 3560$ коробок
   Масса вермишели: $3560 \cdot 0,5 = 1780$ кг
   Общая масса: $(2870 + 7320) \cdot 0,5 = 5095$ кг
   Ответ: 1780 кг и 5095 кг.
5. Число 20 изменяется 33 шагами (±1). Сумма изменений: $20 - 10 = 10$ (нечётное количество шагов)
   Решение: Сумма 33 шагов (±1) должна быть $-10$. Количество "+1" и "−1":
   $\begin{cases} x - y = -10 \\ x + y = 33 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 2x = 23$ (нецелочисленное)
   Ответ: Невозможно.
6. Контейнеры: 45 штук (каждый 6 м²). Площадь отсека: $22 \cdot 12 = 264$ м².
   Решение:
   Максимум контейнеров: $264 : 6 = 44$
   Ответ: Нельзя.
7. Петя и Филя: исходная дистанция $10v$. Филя догоняет за 5 мин, двигаясь со скоростью $kv$:
   Решение:
   $5kv = 15v \quad \Rightarrow \quad k = 3$
   Ответ: В 3 раза.
8. Сыр: исходный меньший кусок $b$, после укусов уменьшился вдвое. Лиса съела:
   Решение:
   Пусть $a$ и $1 - a$ — части сыра ($a > 0.5$). После операций остаток равен $1 - a$, следовательно, лиса съела $a$.
   Ответ: 0,6 кг.
9. Считаем треугольники на рисунке (без изображения обоснование невозможно).
   Ответ: Пропущено (необходима визуализация фигуры).
10. В хороводе каждый говорит правому "Я — полицейский". Возможные роли:
    Решение: Полицейские говорят правду другим полицейским и ворам, воры врут полицейским. Единственный цикл без противоречий — все полицейские или чередование с ворами. Обывателей нет.
    Ответ: 0 обывателей.