Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 19

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 19

1. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Атос записал на доске два числа. Арамис рядом записал их сумму. Портос сложил все три задуманных числа, получил четвёртое число и записал его. Чему равна сумма всех четырёх выписанных чисел, если Арамис записал число 7? Ответ обоснуйте.
   
   
2. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   Соня и Ваня разрезали два одинаковых прямоугольника. У Сони получилось два прямоугольника, каждый периметром 40 см, а у Вани — два прямоугольника, каждый периметром 50 см. Какой периметр имели первоначальные прямоугольники?
   
   
3. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут — во второй. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
   
   
4. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Брокер купил несколько акций ОАО «Напрасный труд», рассчитывая получить прибыль 280 000 ₽, продавая по 15 000 ₽ за штуку. Однако пришлось продать по 8 500 ₽, и прибыль составила 52 500 ₽. Какую сумму заплатил брокер за акции?
   
   
5. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   В магазине продаются свечки в виде цифр. Цифры одинакового номинала стоят одинаково, разные — по-разному. Число 4385 стоит 36 динаров; число 27 стоит 17 динаров; число 56165 стоит 47 динаров; число 782 стоит 29 динаров; число 586 стоит 33 динара. Сколько стоит число 745231?
   
   
6. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Три мухи в полдень сели на секундную, минутную и часовую стрелки часов и поехали на них. Когда одна стрелка обгоняла другую, мухи менялись местами (а если бы секундная обогнала сразу часовую и минутную, поменялись бы мухи с секундной и часовой). Сколько кругов проехала каждая муха до полуночи?
   
   
7. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Частное от деления двух чисел равно 3, а остаток 10. Если сложить делимое, делитель, частное и остаток, то получится 143. Найти делимое и делитель.
   
   
8. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   У Джузеппе есть лист фанеры, размером $22\times15$. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером $3\times5$. Как это сделать?
   
   
9. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Из села Горюхино выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал мотоциклист, который догнал велосипедиста на расстоянии 10 км от Горюхино. Когда мотоциклист был на расстоянии 50 км от Горюхино, велосипедист отставал от него уже на 20 км. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Балда и Емеля едят пирожки. Емеля может съесть 15 пирожков за полчаса, а Балда — 15 пирожков за 20 минут. Чудо-печка каждые 2 минуты выпекает 3 пирожка. Печка пекла пирожки 2 часа. Успеют ли Емеля и Балда вместе съесть все пирожки за 2 часа?
    
    
11. Решите задачу, объяснив ход решения:
    На прозрачной бумаге нарисованы три одинаковых квадрата с узорами, закрашенными чёрной краской. Нарисуйте узор, который получится при наложении этих трёх квадратов друг на друга. Поворачивать квадраты не разрешается.
    
    
    
12. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Найдите стоимость одной шоколадки, если Варя говорит, что за 9 таких шоколадок она заплатила 64 р. 17 коп., Тоня говорит, что за 5 таких шоколадок она заплатила 35 р. 60 коп., Света говорит, что за 3 такие шоколадки она заплатила 21 р. 36 коп., и известно, что две из трёх девочек ошибаются.

Решения задач

1. Решите задачу: Пусть числа Атоса — \(a\) и \(b\). Арамис записал сумму: \(a + b = 7\). Портос сложил все три числа: \(a + b + (a + b) = 2(a + b) = 14\). Сумма всех четырёх чисел: \(a + b + (a + b) + 2(a + b) = 4(a + b) = 4 \cdot 7 = 28\).
   Ответ: 28.
   
   
2. Нарисуйте чертёж и решите задачу: Пусть исходный прямоугольник имеет стороны \(x\) и \(y\). Соня разрезала вдоль длины \(x\): периметр каждого нового прямоугольника: \(2\left(\frac{x}{2} + y\right) = x + 2y = 40\). Ваня разрезал вдоль ширины \(y\): периметр каждого нового прямоугольника: \(2\left(x + \frac{y}{2}\right) = 2x + y = 50\). Решаем систему: \[ \begin{cases} x + 2y = 40 \\ 2x + y = 50 \end{cases} \Rightarrow x = 20, \ y = 10. \] Исходный периметр: \(2(x + y) = 60\) см.
   Ответ: 60 см.
   
   
3. Нарисуйте схему и решите задачу: Пусть скорости велосипедиста и мотоциклиста — \(v\) и \(u\) (км/ч). Первое догонение через \(\frac{1}{6}\) часа: \((u - v) \cdot \frac{1}{6} = 30 \Rightarrow u - v = 180\). Второе догонение через \(\frac{2}{3}\) часа: \((u - v) \cdot \frac{2}{3} = 60 \Rightarrow u - v = 90\). Противоречие показывает, что скорость мотоциклиста \(u = 90\) км/ч (при \(v = 60\) км/ч).
   Ответ: 90 км/ч.
   
   
4. Решите задачу: Пусть количество акций — \(x\), цена покупки — \(y\). Система: \[ \begin{cases} (15000 - y)x = 280000 \\ (8500 - y)x = 52500 \end{cases} \Rightarrow x = 35, \ y = 7000. \] Затраты: \(35 \cdot 7000 = 245\,000\) руб.
   Ответ: $245\,000 руб$.
   
   
5. Нарисуйте чертёж и решите задачу: Стоимость цифр: из данных чисел находим стоимости: 8 →12, 1 →5. Сумма для числа 745231: \(7 (n) +4 (x) +5 (w) +2 (m) +3 (y) +1 (5)\). Из уравнений \(m + n = 17\), \(x + y + w = 24\), получаем сумму: \(17 + 24 + 5 = 46\) динаров.
   Ответ: 46 динаров.
   
   
6. Нарисуйте схему и решите задачу: Секундная стрелка: 720 кругов (12 ч × 60 об/ч), минутная: 12 кругов, часовая: 1 круг.
   Ответ: 720, 12, 1.
   
   
7. Решите задачу: Пусть делимое \(a = 3b + 10\), сумма \(a + b + 3 + 10 = 143\). Решаем: \(3b + 10 + b = 130 \Rightarrow b = 30\), \(a = 100\).
   Ответ: 100 и 30.
   
   
8. Нарисуйте чертёж и решите задачу: Максимальное количество заготовок \(3 \times 5\) в листе \(22 \times 15\): 14 штук (раскладка 3 ряда по 4 и остаток для 2).
   Ответ: 14.
   
   
9. Нарисуйте схему и решите задачу: Пусть скорости \(v\) (велосипедист) и \(u\) (мотоциклист). Система: \[ \begin{cases} v \cdot t = 10 \\ u \cdot (t - 0.25) = 10 \\ v \cdot \left(\frac{50}{u} + 0.25\right) = 30 \end{cases} \Rightarrow v = 20, \ u = 40. \] Ответ: 20 км/ч и 40 км/ч.
   
   
10. Решите задачу: Всего пирожков: \(\frac{120}{2} \cdot 3 = 180\). Емеля съедает \(15/0.5 = 30\) пир./ч, Балда — \(45\) пир./ч. Вместе: \(75\) пир./ч. За 2 часа съедят \(150\), останется \(30\).
    Ответ: Нет.
    
    
11. Решите задачу: Наложение трёх квадратов даёт пересечение узоров. Ответ зависит от рисунка: пересечение чёрных областей.
    Ответ: Комбинированный узор (черные области всех трёх квадратов).
    
    
12. Решите задачу: Проверка цен: Варя: \(64.17 / 9 \approx 7.13\) р., Тоня: \(35.60 / 5 = 7.12\) р., Света: \(21.36 / 3 = 7.12\) р. Точная цена — 7.13 р. (Варя права, другие ошиблись).
    Ответ: 7 руб. 13 коп.