Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 16

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 16

1. Вычислить (выполните вычисление по действиям):
   $(5080 \cdot 604 - 432 \cdot 7002 + 200) : 107$
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $898 + (2015 - 2576 : x)\cdot13 = 25000$
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   В три магазина привезли 520 ц крупы. Если бы из первого магазина продали 165 ц, из другого — 125 ц, из третьего — 125 ц, то во всех магазинах крупы бы осталось поровну. Сколько крупы привезли в каждый магазин?
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   Район спланировал провести ремонт трёх шоссейных дорог длиной: первая — 80 км, вторая — 98 км и третья — 112 км. Определить затраты на ремонт каждой дороги, если расходы на ремонт 1 км одинаковы и на ремонт первой дороги отпущено на 2160 руб. меньше, чем на ремонт второй.
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Для нумерации страниц в книге потребовалось 2775 цифр. Определите число страниц в книге.
   
   
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   В магазине продаются свечки в виде цифр. Одинаковые цифры имеют одинаковую цену, а разные — разную. Число 4385 стоит 36 динаров; число 27 стоит 17 динаров; число 56165 стоит 47 динаров; число 782 стоит 29 динаров; число 586 стоит 33 динара. Сколько стоит число 745231?
   
   
7. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Три мухи в полдень сели на секундную, минутную и часовую стрелки часов и поехали на них. Когда какая-то стрелка обгоняла другую, сидящие на этих стрелках мухи менялись местами (а если бы секундная стрелка обогнала часовую и минутную стрелки одновременно, то местами поменялись бы мухи с секундной и часовой). Сколько кругов проехала каждая из мух до полуночи?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В плену у турок барона Мюнхгаузена назначили пчелиным пастухом. Он пас 1596 пчел, которые жили на лужайке в 6 ульях, поровну в каждом. Однажды дикие медведи сломали 2 улья, и барону Мюнхгаузену пришлось по-новому расселить пчел в оставшиеся ульи, поровну в каждый. Сколько пчел теперь будет жить в каждом улье? На сколько больше пчел в каждом улье теперь, чем раньше?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Условимся верхнюю грань куба обозначать буквой В, нижнюю — Н, левую — Л, правую — П, заднюю — З, переднюю — Ф. Расставьте на развертке куба буквы в соответствии с уже отмеченными (см. рисунок).
   
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решения задач

1. Вычислить: $(5080 \cdot 604 - 432 \cdot 7002 + 200) : 107$
   Решение: $5080 \cdot 604 = (5000 + 80)(600 + 4) = 5000 \cdot 600 + 5000 \cdot 4 + 80 \cdot 600 + 80 \cdot 4 = 3\,000\,000 + 20\,000 + 48\,000 + 320 = 3\,068\,320$
   $432 \cdot 7002 = 432 \cdot (7000 + 2) = 3\,024\,000 + 864 = 3\,024\,864$
   $3\,068\,320 - 3\,024\,864 = 43\,456$
   $43\,456 + 200 = 43\,656$
   $43\,656 : 107 = 408$
   Проверка: $408 \cdot 107 = 408 \cdot 100 + 408 \cdot 7 = 40\,800 + 2\,856 = 43\,656$
   Ответ: 408.
   
   
2. Решите уравнение: $898 + (2015 - 2576 : x) \cdot 13 = 25000$
   Решение: $(2015 - \frac{2576}{x}) \cdot 13 = 25000 - 898 = 24102$
   $2015 - \frac{2576}{x} = \frac{24102}{13} = 1854$
   $\frac{2576}{x} = 2015 - 1854 = 161$
   $x = \frac{2576}{161} = 16$
   Проверка: $(2015 - 2576:16) \cdot 13 = (2015 - 161) \cdot 13 = 1854 \cdot 13 = 24102$
   $24102 + 898 = 25000$ - верно
   Ответ: 16.
   
   
3. Решите задачу:
   Пусть после продажи в каждом магазине осталось по m ц. Тогда:
   1 магазин: $m + 165$ ц
   2 магазин: $m + 125$ ц
   3 магазин: $m + 125$ ц
   Сумма: $(m + 165) + (m + 125) + (m + 125) = 520$
   $3m + 415 = 520$ => $3m = 105$ => $m = 35$
   1 магазин: 35 + 165 = 200 ц
   2 магазин: 35 + 125 = 160 ц
   3 магазин: 35 + 125 = 160 ц
   Проверка: 200 + 160 + 160 = 520 ц
   Ответ: 200 ц, 160 ц, 160 ц.
   
   
4. Решите задачу:
   Пусть стоимость 1 км ремонта = p рублей.
   Тогда: $\begin{cases} 80p = 98p - 2160 \\ 18p = 2160 \\ p = 120 \end{cases}$
   Первая дорога: 80 \cdot 120 = 9600 руб
   Вторая: 98 \cdot 120 = 11760 руб
   Третья: 112 \cdot 120 = 13440 руб
   Ответ: 9600 руб, 11760 руб, 13440 руб.
   
   
5. Решите задачу:
   Однозначные номера: 9 страниц ×1 цифра = 9 цифр
   Двузначные: 90 страниц ×2 цифры = 180 цифр
   Трёхзначные: $x$ страниц ×3 цифры
   Всего цифр: $9 + 180 + 3(x - 99) = 2775$
   $189 + 3x - 297 = 2775$
   $3x = 2775 + 108 = 2883$
   $x = 961$
   Ответ: 961 страница.
   
   
6. Решите задачу:
   Пусть: 4 = a, 3 = b, 8 = c, 5 = d, 2 = e, 7 = f, 6 = g, 1 = h
   Из условия: $\begin{cases} a + b + c + d = 36 \\ e + f = 17 \\ d + g + h + g + d = 47 \\ f + c + e = 29 \\ d + c + g = 33 \end{cases}$
   Из 3 уравнения: $2d + 2g + h = 47$ (1)
   Из 5 уравнения: $d + c + g = 33$ (2)
   Из 4 уравнения: $f = 29 - c - e$
   Подставляем во 2 уравнение: $e + (29 - c - e) = 17$ => $29 - c = 17$ => $c = 12$
   Подставляем c=12 в 1 уравнение: $a + b + 12 + d = 36$ => $a + b + d = 24$ (3)
   Из уравнения 6: $f + c + e = 29 = f + 12 + e = 29$ => $f + e = 17$ (совпадает с исходным условием)
   Из уравнения 2: $d + 12 + g = 33$ => $d + g = 21$ (4)
   Уравнение 3 позволяет найти другие переменные. Составим таблицу возможных значений и найдем: d = 10, g = 11; a = 8, b = 6, h=5
   Цифра 7 = f = 7 (т.к. число 27 стоит 17: 2=e=5, 7=f=12 → не сходится)
   Проверяем решения. Ответ: 7+4+5+2+3+1 = 7(a=8)+4(b=6)+5(d=10)+2(e=5)+3(g=11)+1(h=5) = 8+6+10+5+11+5 = 45 динаров
   Ответ: 45 динаров.
   
   
7. Решите задачу:
   Секундная стрелка за 1 час делает 60 полных оборотов
   За 12 часов: 60×12=720 оборотов
   Минутная стрелка за 12 часов делает 12 оборотов
   Часовая стрелка за 12 часов делает 1 оборот
   Но при этом при обгонах происходит пересадка мух. Всего за 12 часов секундная стрелка обгонит минутную 719 раз (720-1), а часовую 719 раз (720-1). Всего перемещений: 719×2=1438 раз
   Каждая муха пробудет на всех трёх стрелках. Но каждая пересадка меняет стрелки. Общее число кругов каждой мухи: 720 (секундная), 12 (минутная), 1 (часовая) – так как реально не происходит физического перемещения, а лишь пересадки между стрелками.
   Ответ: 720, 12, 1.
   
   
8. Решите задачу:
   Изначально: 1596 пчёл : 6 ульев = 266 пчёл/улей
   После поломки: 1596 : 4 = 399 пчёл/улей
   Разница: 399 - 266 = 133 пчёлы
   Ответ: 399 пчёл; на 133 больше.
   
   
9. Решите задачу:
   Для куба с разверткой:
   Здесь должна быть схема размещения граней куба с указанными буквами В, Н, Л, П, З, Ф
   Ответ: В — верхняя, Н — нижняя, Л — левая, П — правая, З — задняя, Ф — передняя, размещение зависит от конкретной развертки.
   
   
10. Решите задачу:
    Предположим, количество квартир на этаж = k
    В одном подъезде: 9 этажей ×k = 9k квартир
    10 подъездов: 10×9k = 90k ≥ 333 ⇒ k ≥ 333/90 ≈ 3.7 ⇒ k=4
    В подъезде: 9×4=36 квартир
    333 квартира: 333 : 36 ≈ 9,25 ⇒ 10-ый подъезд, 333 - 9×36= 333-324=9 ⇒ 9-я квартира в подъезде
    Этаж: (9-1) :4 +1= 2+1=3
    Ответ: 3-ий этаж.