Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 12-1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

Вариант 12-1

1. Выполните по действиям:
   $(935140 - 760\cdot604) : 230 + 670$
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $88 - 8\cdot(8\cdot90 - x) : 4 = 16$
3. Решите задачу, составляя выражение:
   Димы и Пети уроки начинаются в 9 утра. У Димы 5 уроков по 40 минут и перемены по 25 минут. У Пети 7 уроков по 45 минут и перемены по 20 минут. У кого из них уроки заканчиваются раньше и на сколько минут?
4. Решите задачу по действиям:
   Мастер выполнял заказ в течение 7 дней. Каждый день он работал на 1 час меньше, чем в предыдущий, но при этом производил на 10 деталей в час больше. Сколько всего деталей изготовил мастер, если в четвёртый день он сделал 560 деталей за 7 часов?
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Если делимое уменьшить в два раза, а делитель уменьшить на 36, то частное не изменится. Найдите делитель.
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   Высота телевизора без подставки 40 см, ширина 90 см, рамка слева, сверху и справа 2 см, а снизу 3 см. Найдите площадь только рамки телевизора. (Высота и ширина даны вместе с рамкой.)
7. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Ученик добрался до школы за 50 минут. На автобусе он ехал на 20 минут меньше, чем шёл пешком, и при этом проехал на 1 км больше, чем прошёл. Во сколько раз быстрее он ехал на автобусе, чем шёл пешком, если весь путь составил 8 км?
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   У Андрея, Бори и Влада было одинаковое количество конфет. Сначала Андрей отдал четверть своих конфет Боре, затем Боря треть своих конфет отдал Владу, затем Влад отдал Андрею половину своих конфет. В итоге у Андрея оказалось 105 конфет, у Бори — 60, у Влада — 51. Сколько конфет было у Влада изначально?
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Треугольник со сторонами 20 см, 20 см, 24 см разрезали на два равных треугольника и сложили из них другой треугольник с периметром 72 см. Найдите площадь нового треугольника.
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    У рыцаря (всегда говорит правду) и лжеца (всегда врет) выпадают молочные зубы. Они спорили: 1) У меня меньше 9 верхних зубов. 2) У меня нижних зубов больше, чем верхних. 3) У меня нижних зубов меньше, чем у тебя. 4) У меня зубов больше, чем у тебя. Выясните, кто из них рыцарь и сколько у него верхних и сколько нижних зубов, если вместе у них 22 нижних и 19 верхних зубов.

Решения задач

1. Выполните по действиям: $(935140 - 760\cdot604) : 230 + 670$
   Решение: $760 \cdot 604 = 760 \cdot 600 + 760 \cdot 4 = 456000 + 3040 = 459040$
   $935140 - 459040 = 476100$
   $476100 : 230 = 2070$
   $2070 + 670 = 2740$
   Ответ: 2740.
2. Решите уравнение, сделайте проверку: $88 - 8\cdot(8\cdot90 - x) : 4 = 16$
   Решение: $88 - \frac{8 \cdot (720 - x)}{4} = 16$
   $88 - 2 \cdot (720 - x) = 16$
   $88 - 1440 + 2x = 16$
   $-1352 + 2x = 16$
   $2x = 1368$
   $x = 684$
   Проверка: $88 - 8\cdot(8\cdot90 - 684) : 4 = 88 - 8\cdot(720 - 684) : 4 = 88 - 8\cdot36:4 = 88 - 72 = 16$ ✓
   Ответ: 684.
3. Решите задачу: У Димы 5 уроков по 40 минут (+4 перемены по 25 мин): $5 \cdot 40 + 4 \cdot 25 = 200 + 100 = 300$ мин (с 9:00 до 14:00)
   У Пети 7 уроков по 45 минут (+6 перемен по 20 мин): $7 \cdot 45 + 6 \cdot 20 = 315 + 120 = 435$ мин (7 ч 15 мин)
   Разница: $435 - 300 = 135$ мин = 2 ч 15 мин. Петя заканчивает позже.
   Ответ: У Димы раньше на 2 ч 15 мин (135 минут).
4. Решите задачу: В 4-й день: 7 часов → 560 деталей ⇒ 560 : 7 = 80 дет/час
   По условию ежедневно время ↓ на 1 ч, производительность ↑ на 10 дет/час. Составляем таблицу: $$\begin{aligned} 1 день & : 10 ч \cdot 50 дет/ч = 500 \\ 2 день & : 9 ч \cdot 60 = 540 \\ 3 день & : 8 ч \cdot 70 = 560 \\ 4 день & : 7 ч \cdot 80 = 560 \\ 5 день & : 6 ч \cdot 90 = 540 \\ 6 день & : 5 ч \cdot 100 = 500 \\ 7 день & : 4 ч \cdot 110 = 440 \end{aligned}$$ Сумма: 500 + 540 + 560 + 560 + 540 + 500 + 440 = 3140 $\newline$ Ответ: 3140 деталей.
5. Решите задачу: Пусть делимое = D, делитель = d. По условию: $\frac{D}{2} : (d - 36) = D : d$ $\newline$ $\frac{D}{2(d - 36)} = \frac{D}{d}$ ⇒ $\frac{1}{2(d - 36)} = \frac{1}{d}$ ⇒ $d = 2d - 72$ ⇒ $d = 72$ $\newline$ Ответ: делитель равен 72.
6. Чертеж: Габариты с рамкой: 40×90 см. Внутренние размеры: $\newline$ Высота: $40 - 2$ (сверху) $-3$ (снизу) $= 35$ см $\newline$ Ширина: $90 - 2 \cdot 2 = 86$ см $\newline$ Площадь рамки: $(40 \cdot 90) - (35 \cdot 86) = 3600 - 3010 = 590$ см\(^2\) $\newline$ Ответ: 590 см².
7. Решите задачу: Пусть пешком шел t минут ⇒ автобусом (t - 20) мин. Весь путь: t + (t - 20) = 50 ⇒ 2t = 70 ⇒ t = 35 мин пешком, 15 мин на автобусе. $\newline$ Скорости: $v_{пеш} = \frac{S}{35}$ км/мин, $v_{авт} = \frac{S + 1}{15}$ км/мин $\newline$ Весь путь: S + (S + 1) = 8 ⇒ 2S + 1 = 8 ⇒ S = 3,5 км $\newline$ Соотношение скоростей: $\frac{v_{авт}}{v_{пеш}} = \frac{4,5/15}{3,5/35} = \frac{0,3}{0,1} = 3$ $\newline$ Ответ: в 3 раза быстрее.
8. Решите в обратном порядке:
   • После передачи Владом 51:2=25,5 → невозможно (не целое). Уточнение: возможно ошибка в условии или использованы целые числа. Альтернативно: Влад перед последним шагом имел 102 конфеты (51·2), отдал 51 Андрею. До этого Боря имел 60 конфет, Влад 102 - 51 = 51? Нужно перерассмотреть с целыми числами. Вероятно изначально у всех N конфет:
   Исходно: Андрей(A), Боря(Б), Влад(B) ≈ N $$\begin{aligned} А → Б: \frac{N}{4}, осталось у А: \frac{3N}{4}; Б: N + \frac{N}{4} = \frac{5N}{4} \\ Б → В: \frac{1}{3} \cdot \frac{5N}{4} = \frac{5N}{12}; Б: \frac{5N}{4} - \frac{5N}{12} = \frac{10N}{12} = \frac{5N}{6}; В: N + \frac{5N}{12} = \frac{17N}{12} \\ В → А: \frac{1}{2} \cdot \frac{17N}{12} = \frac{17N}{24}; В осталось: \frac{17N}{24} \\ А итого: \frac{3N}{4} + \frac{17N}{24} = \frac{18N + 17N}{24} = \frac{35N}{24} = 105 ⇒ N=72 \end{aligned}$$ Проверка для N=72: конечные значения совпадают. Ответ: Все исходно имели по 72 конфеты ⇒ у Влада было 72.
9. Исходный треугольник: равнобедренный 20,20,24. Высота: $h = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ см ⇒ площадь 24·16/2=192 см². При разрезе пополам получаем два треугольника по 96 см². Новый треугольник имеет периметр 72 см. Так как исходные треугольники равны, возможна перекомпоновка без изменения площади ⇒ 192 см². Ответ: 192 см².
10. Логика: $\newline$ Всего нижних 22, верхних 19. Пусть Рыцарь K, Лжец L. Просмотрим утверждения:
    • K: "У меня <9 верхних зубов". Если правда, то у K верхних ≤8 ⇒ у L верхних ≥11, но общих 19 ⇒ возможен вариант K=8, L=11.
    • K: "Нижних > верхних", что для K 8 верхних и N нижних ⇒ N>8. Общие нижние 22 ⇒ у L=22 - N. Проверяем остальные утверждения.
    • Лжец должен лгать во всех 4 утверждениях. Проверим варианты и найдем согласование. Итог: Рыцарь имеет 8 верхних зубов и 14 нижних (88, но утверждал обратное).
    Ответ: Рыцарь: 8 верхних, 14 нижних; Лжец: 11 верхних, 8 нижних.