Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 3-2

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

неизв год

Вариант 3-2

1. Выполните по действиям:
   $14\;\cdot\;\bigl(26735 - (5795 + 4855) : 213 - 63\bigr)$
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $2782 - 2704 : 26 : (x - 13\cdot14) = 2769$
3. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Квадрат с периметром 156 см разрезали на 13 равных прямоугольников и сложили из них один прямоугольник, который не является квадратом. Найдите периметр полученного прямоугольника.
4. Решите задачу по действиям:
   Мотоциклист выехал из пункта А в пункт Б со скоростью 35 км/ч. После первых 28 км пути он сделал остановку на 25 мин. Проехав ещё 36 мин, он остановился на полчаса. Дальше мотоциклист ехал без остановок и прибыл в пункт Б ровно в 14:15. Во сколько он выехал из пункта А, если всё расстояние равно 135 км?
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Во сколько раз произведение двух чисел больше их частного, если разность этих чисел на 26 меньше их суммы?
6. Решите задачу по действиям:
   Мама на рынке купила 2 кг 500 г картошки по 26 руб/кг и 3 кг 200 г моркови по 35 руб/кг. Какую сдачу она получила с купюры 5000 рублей?
7. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Сумма периметров двух квадратов равна 52 см. Из них сложили фигуру, периметр которой равен 40 см. Найдите площадь этой фигуры.
   
8. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Два туриста отправились одновременно из пункта А в пункт Б. Первый весь путь ехал на велосипеде, второй — половину пути на автобусе, половину пути — пешком. Скорость автобуса в 3 раза больше скорости велосипедиста, а скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Сколько минут затратил первый турист на весь путь, если второй добрался из А в Б за 1 ч 5 мин?
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В коробке лежат красные, синие и зелёные шарики. Если из неё достать 12 шариков, то среди них точно найдётся 2 красных. Если достать 11 шариков, то точно найдётся 2 синих. Если достать 12 шариков, то точно найдётся 3 зелёных. Какое наибольшее количество шариков может быть в коробке? Докажите, что больше быть не может.

Решения задач

1. Выполните по действиям:
   $14\;\cdot\;\bigl(26735 - (5795 + 4855) : 213 - 63\bigr)$
   Решение:
   1) Сумма в скобках: $5795 + 4855 = 10650$
   2) Деление: $10650 : 213 = 50$
   3) Вычитание в скобках: $26735 - 50 - 63 = 26735 - 113 = 26622$
   4) Умножение: $14 \cdot 26622 = 372708$
   Ответ: 372708.
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $2782 - 2704 : 26 : (x - 13\cdot14) = 2769$
   Решение:
   1) Вычисляем $13 \cdot 14 = 182$
   2) Упрощаем уравнение:
   $2782 - \frac{2704}{26} : (x - 182) = 2769$
   3) Вычисляем $\frac{2704}{26} = 104$:
   $2782 - \frac{104}{x - 182} = 2769$
   4) Переносим константу:
   $\frac{104}{x - 182} = 2782 - 2769 = 13$
   5) Решаем уравнение:
   $x - 182 = \frac{104}{13} = 8$
   $x = 8 + 182 = 190$
   Проверка:
   $2704 : 26 : (190 - 182) = 104 : 8 = 13$,
   $2782 - 13 = 2769$ — верно.
   Ответ: 190.
3. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Квадрат с периметром 156 см разрезали на 13 равных прямоугольников и сложили из них один прямоугольник. Найдите периметр полученного прямоугольника.
   Решение:
   1) Сторона квадрата: $156 : 4 = 39$ см 2) Площадь квадрата: $39 \cdot 39 = 1521 \, см^2$ 3) Площадь одного прямоугольника: $1521 : 13 = 117 \, см^2$ 4) Размеры прямоугольников: предположим их разделили на 13 полос $39 \times 3$ см каждая 5) Собираем в прямоугольник: 13 полос по 3 см шириной сложим в длину: длина $39 \times 13 = 507$ см, ширина 3 см (невозможно) или вертикально: высота 39 см, ширина $3 \cdot 13 = 39$ см (получится квадрат). 6) Правильное расположение: прямоугольники складывают в 13 слоёв длиной 39 см и высотой $3$ см: периметр $2 \cdot (39 + 3 \cdot 13) = 2 \cdot (39 + 39) = 156$ см — квадрат. Значит, другой вариант: разрезать квадрат на полосы толщиной $39 : 13 = 3$ см и сложить как прямоугольник $39 \times 3$ и еще раз! Нет, тут противоречие условию, что прямоугольник не квадратный. Возможно, ошибка в условии или разборе. Однако ответ совпадает с исходным периметром квадрата, что парадоксально.
   Ответ: 156 см.
4. Решите задачу по действиям:
   Мотоциклист выехал из А в Б со скоростью 35 км/ч. После первых 28 км остановка 25 мин. Проехав ещё 36 мин, остановка на полчаса. Дальше ехал без остановок и прибыл в 14:15. Во сколько выехал из А, если всего 135 км?
   Решение:
   1) Время на первые 28 км: $\frac{28}{35} = 0,8$ часа = 48 мин 2) Остаток пути после первой остановки: $135 - 28 = 107$ км 3) Путь за вторую поездку: $35 \cdot 0,6 = 21$ км (36 мин = 0,6 ч) 4) Остаток пути после второй остановки: $107 - 21 = 86$ км 5) Время на оставшийся путь: $\frac{86}{35} \approx 2,457$ часа ≈ 2 ч 27,5 мин 6) Общее время в пути:
   48 мин + 25 мин + 36 мин + 30 мин + 2 ч 27,5 мин = 48 + 25 + 36 + 30 + 147,5 = 286,5 мин = 4 ч 46,5 мин 7) Время отправления:
   14:15 - 4 ч 46,5 мин = 9:28:30
   Ответ: В 9:28:30.
5. Решите задачу:
   Во сколько раз произведение двух чисел больше их частного, если разность чисел на 26 меньше их суммы?
   Решение:
   Пусть числа a и b. По условию:
   $a - b = (a + b) - 26$ $\Rightarrow a - b = a + b - 26$ $\Rightarrow -2b = -26$ $\Rightarrow b = 13$
   Отношение произведения к частному: $\frac{a \cdot b}{a/b} = b^2 = 13^2 = 169$ Ответ: В 169 раз.
6. Решите задачу по действиям:
   Мама купила 2,5 кг картошки по 26 руб/кг и 3,2 кг моркови по 35 руб/кг. Какую сдачу получила с 5000 руб?
   Решение:
   1) Стоимость картошки: $2,5 \cdot 26 = 65$ руб 2) Стоимость моркови: $3,2 \cdot 35 = 112$ руб 3) Общая сумма: $65 + 112 = 177$ руб 4) Сдача: $5000 - 177 = 4823$ руб Ответ: 4823 руб.
7. Решите задачу:
   Сумма периметров двух квадратов — 52 см. Периметр фигуры — 40 см. Найдите площадь фигуры.
   Решение:
   1) Сумма сторон квадратов: $\frac{52}{4} = 13$ см 2) Пусть стороны $a$ и $b$: $a + b = 13$ см 3) Периметр фигуры: если квадраты сложены стороной, то периметр $4a + 4b - 2a = 40$ → не подходит. Возможно, прямоугольник из двух квадратов:
   Размеры фигуры: $(a + b) \times a$, периметр $2(a + b + a) = 2(2a + b) = 40$ → $2a + b = 20$
   Но $a + b = 13$ → решаем систему: $a = 7$ см, $b = 6$ см. 4) Площадь: $7^2 + 6^2 = 49 + 36 = 85$ см² Ответ: 85 см².
8. Решите задачу:
   Первый турист весь путь ехал на велосипеде, второй — половину на автобусе (в 3 раза быстрее велосипеда), половину пешком (в 4 раза медленнее велосипеда). Второй затратил 1 ч 5 мин. Найти время первого.
   Решение:
   Пусть скорость велосипеда $v$, тогда автобуса $3v$, пешехода $v/4$. Время второго туриста: $\frac{0,5S}{3v} + \frac{0,5S}{v/4} = \frac{S}{6v} + \frac{2S}{v} = \frac{S}{6v} + \frac{12S}{6v} = \frac{13S}{6v} = \frac{65}{60}$ часа Отсюда $\frac{S}{v} = \frac{65}{60} \cdot \frac{6}{13} = \frac{65 \cdot 6}{780} = \frac{6}{12} = 0,5$ часа = 30 минут Ответ: 30 мин.
9. Решите задачу:
   Наибольшее количество шаров, если:
   — 12 шаров ⇒ ≥2 красных
   — 11 шаров ⇒ ≥2 синих
   — 12 шаров ⇒ ≥3 зеленых
   Решение:
   Максимальные количества без гарантии: Красных ≤10 (11 шаров других +1 красный) Синих ≤8 (10 других +1 синий) Зелёных ≤9 (11 других +1 зелёный)
   Максимальное общее количество: 10 + 8 + 9 = 27 Проверка условий: Если 10 красных, 8 синих, 9 зелёных: — Взяли 12: максимум 8 синих +9 зелёных + хоть 2 красных — Взяли 11: 10 красных +9 зелёных =19 ≥11 → должно быть как минимум 2 синих, но синих всего 8, что противоречит условию. Значит, синих должно быть 9? Уточнение: если синих не более 9, то достать 11 шаров можно 10 красных +1 синий, что нарушает условие про 2 синих. Следовательно, максимальное количество синих: 9.
   Корректный ответ: Красных — 10, синих — 9, зелёных — 8. Всего 27 шаров. Ответ: 27.