Лицей №1580 из 4 в 5 класс вариант 3-1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

неизв год

Вариант 3-1

1. Выполните по действиям:
   $156\;\cdot\;\bigl((2848 - 2048 : 32) + 2226\bigr)$
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $512 : (48 - x) : (48 - 16) = 4$
3. Решите задачу по действиям:
   На овощную базу завезли огурцы, помидоры и картофель. Помидоров было 314 кг, что в 4 раза меньше, чем картофеля, и на 38 кг больше, чем огурцов. Сколько всего овощей было завезено на базу? Ответ выразить в тоннах и килограммах.
4. Решите задачу по действиям:
   В большом ящике лежит 3 больших коробки, в каждой большой коробке лежит 2 средних ящика, в каждом среднем ящике лежит 3 средних коробки, в каждой средней коробке лежит 2 маленьких ящика, в каждом маленьком ящике лежит 3 маленьких коробок. Сколько всего коробок внутри большого ящика?
5. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Из Москвы в 8 утра выехала машина. В 1 час дня водитель снизил скорость на 20 км/ч. В 2 часа дня машина находилась в 460 км от Москвы. С какой скоростью машина выехала из Москвы?
6. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Фигура на рисунке составлена из 6 одинаковых квадратиков. Её периметр равен 7 м. Найдите её площадь.
   
7. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В доме 36 этажей. Под Мишиной квартирой в 6 раз больше этажей, чем над ней. На каком этаже живёт Миша?
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Автомобиль проезжает 42 км за 24 минуты. За какое время автомобиль проедет 35 км?
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Большой квадрат разделили на маленький квадрат и 4 равных прямоугольника. Периметр каждого прямоугольника равен 1 м. Найдите площадь большого квадрата.
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Даны три утверждения: «В этом числе есть одинаковые цифры», «В этом числе есть хотя бы одна чётная цифра», «В этом числе нет тройки и нет единицы». Для какого наибольшего трёхзначного числа все три утверждения ложны? Докажите, что это число наибольшее, соответствующее условию задачи.

Решения задач

1. Выполните по действиям:
   $156\;\cdot\;\bigl((2848 - 2048 : 32) + 2226\bigr)$
   Решение:
   $2048 : 32 = 64$
   $2848 - 64 = 2784$
   $2784 + 2226 = 5010$
   $156 \cdot 5010 = 156\cdot(5000 + 10) = 156\cdot5000 + 156\cdot10 = 780000 + 1560 = 781560$
   Ответ: 781560.
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку:
   $512 : (48 - x) : (48 - 16) = 4$
   Решение:
   $48 - 16 = 32$
   $512 : (48 - x) : 32 = 4$
   $512 : ((48 - x) \cdot 32) = 4$
   $(48 - x) \cdot 32 = 512 : 4 = 128$
   $48 - x = 128 : 32 = 4$
   $x = 48 - 4 = 44$
   Проверка: $512 : (48 - 44) : 32 = 512 : 4 : 32 = 128 : 32 = 4$ — верно.
   Ответ: 44.
   
   
3. Решите задачу по действиям:
   На овощную базу завезли огурцы, помидоры и картофель. Помидоров было 314 кг, что в 4 раза меньше, чем картофеля, и на 38 кг больше, чем огурцов. Сколько всего овощей было завезено на базу? Ответ выразить в тоннах и килограммах.
   Решение:
   Картофель: $314 \cdot 4 = 1256$ кг
   Огурцы: $314 - 38 = 276$ кг
   Всего: $314 + 1256 + 276 = 1846$ кг = 1 т 846 кг
   Ответ: 1 тонна 846 кг.
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   В большом ящике лежит 3 больших коробки, в каждой большой коробке лежит 2 средних ящика, в каждом среднем ящике лежит 3 средних коробки, в каждой средней коробке лежит 2 маленьких ящика, в каждом маленьком ящике лежит 3 маленьких коробок. Сколько всего коробок внутри большого ящика?
   Решение:
   Большие коробки: 3
   Средние ящики: $3 \cdot 2 = 6$
   Средние коробки: $6 \cdot 3 = 18$
   Маленькие ящики: $18 \cdot 2 = 36$
   Маленькие коробки: $36 \cdot 3 = 108$
   Всего: $3$ (большие) $ + 18$ (средние) $ + 108$ (маленькие) $ = 129$
   Ответ: 129 коробок.
   
   
5. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Из Москвы в 8 утра выехала машина. В 1 час дня водитель снизил скорость на 20 км/ч. В 2 часа дня машина находилась в 460 км от Москвы. С какой скоростью машина выехала из Москвы?
   Решение:
   Время движения до снижения скорости: с 8:00 до 13:00 (5 часов)
   Скорость до снижения: $v$ км/ч
   Расстояние за первые 5 часов: $5v$ км
   Скорость после снижения: $(v - 20)$ км/ч
   Расстояние за следующий час: $1 \cdot (v - 20)$ км
   Всего: $5v + (v - 20) = 460$
   $6v - 20 = 460 \Rightarrow 6v = 480 \Rightarrow v = 80$ км/ч
   Ответ: 80 км/ч.
   
   
6. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Фигура на рисунке составлена из 6 одинаковых квадратиков. Её периметр равен 7 м. Найдите её площадь.
   Решение:
   Пусть сторона квадратика $a$ м. Если фигура имеет периметр 14 сторон квадратиков → $14a = 7 \Rightarrow a = 0,5$ м.
   Площадь одного квадрата: $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$ м².
   Общая площадь: $6 \cdot 0,25 = 1,5$ м².
   Ответ: 1,5 м².
   
   
7. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В доме 36 этажей. Под Мишиной квартирой в 6 раз больше этажей, чем над ней. На каком этаже живёт Миша?
   Решение:
   Пусть этажей над Мишей — $x$, тогда под ним $6x$.
   Всего этажей: $6x + x + 1 = 36$
   $7x = 35 \Rightarrow x = 5$
   Этаж Миши: $6x + 1 = 6 \cdot 5 + 1 = 31$
   Ответ: 31.
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Автомобиль проезжает 42 км за 24 минуты. За какое время автомобиль проедет 35 км?
   Решение:
   Скорость: $v = \frac{42}{24} \cdot 60 = 105$ км/ч
   Время для 35 км: $t = \frac{35}{105} = \frac{1}{3}$ ч = 20 минут
   Ответ: 20 минут.
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Большой квадрат разделили на маленький квадрат и 4 равных прямоугольника. Периметр каждого прямоугольника равен 1 м. Найдите площадь большого квадрата.
   Решение:
   Пусть сторона малого квадрата — $a$, сторона большого — $b$. Тогда стороны прямоугольника: $a$ и $b - a$. Периметр прямоугольника: $2(a + (b - a)) = 2b = 1 \Rightarrow b = 0,5$ м.
   Площадь большого квадрата: $(0,5)^2 = 0,25$ м².
   Ответ: 0,25 м².
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения:
    Даны три утверждения: «В этом числе есть одинаковые цифры», «В этом числе есть хотя бы одна чётная цифра», «В этом числе нет тройки и нет единицы». Для какого наибольшего трёхзначного числа все три утверждения ложны? Докажите, что это число наибольшее, соответствующее условию задачи.
    Решение:
    Все условия ложны, значит:
    1. Все цифры разные (ложь о наличии одинаковых).
    2. Все цифры нечётные (ложь о наличии чётной).
    3. Содержит хотя бы одну из цифр 3 или 1 (ложь об их отсутствии).
    Наибольшее такое число: 973 (цифры 9, 7, 3 — разные, нечётные, содержит 3).
    Ответ: 973.