Лицей №1580 из 4 в 5 класс 2023 год вариант 1

1. Выполните по действиям: \[ 406000 + 406 \cdot 7030 \;-\; 326018 : 406 \]
2. Решите уравнение и сделайте проверку: \[ 8 \cdot 60 \;-\;\bigl(x - 6 \cdot 12\bigr) : 3 = 120. \]
3. Составьте выражение и решите задачу:
   Турист проехал из пункта \(A\) в пункт \(B\) 2 ч на такси, потом 3 ч на автобусе, затем полчаса на электричке. Обратно он возвращался 4 ч на электричке и ещё четверть часа на автобусе. Найдите скорость такси, если скорость автобуса 72 км/ч, а скорость электрички 84 км/ч.
4. Решите задачу по действиям:
   Дачник нашёл кучу кирпичей размером \(10\times15\times25\) см. Он решил построить из них стену длиной 3 м. Сначала он выложил стену шириной 25 см. Она получилась высотой 60 см. Какой высоты будет стена, если её ширина будет 10 см?
5. Решите задачу, объяснив ход решения:
   В ряд выписали 10 чисел. Сумма любых трёх чисел подряд равна 21. Сумма всех чисел равна 80. Найдите сумму первого и последнего числа.
6. Решите задачу, объяснив ход решения:
   Дима через 30 лет станет в 6 раз старше. Через сколько лет он станет старше в 12 раз?
7. Решите задачу, объясняя ход решения:
   От прямоугольника отрезали половину, в результате чего периметр уменьшился на 12 см. Затем от оставшегося прямоугольника отрезали половину, и его площадь уменьшилась на 12 см\(^2\). Найдите периметр исходного прямоугольника.
8. Нарисуйте схему и решите задачу:
   В 12:00 грузовик выехал с заправки в южном направлении. В 13 часов он находился посередине между заправкой и машиной, которая ехала на север. В 16:00 грузовик и машина оказались на одинаковом расстоянии от заправки. Во сколько раз машина быстрее грузовика?
9. Нарисуйте чертёж и решите задачу:
   Квадрат разрезали на два прямоугольника и квадрат. Периметры прямоугольников 22 см и 26 см. Найдите периметр полученного квадрата.
10. Решите задачу, объясняя ход решения:
    Четверо друзей писали экзамен. Оказалось, что девочки вместе набрали баллов больше, чем мальчики. У Вани баллов больше, чем у Гали, а в сумме у них столько же, сколько у Ани с Борей. Расставьте друзей в порядке возрастания набранных баллов.

Решения задач

1. Выполните действия: \[ 406000 + 406 \cdot 7030 \;-\; 326018 : 406 \] Решение:
   $406 \cdot 7030 = 406 \cdot 7000 + 406 \cdot 30 = 2842000 + 12180 = 2854180$
   $326018 : 406 = 803$
   $406000 + 2854180 = 3260180$
   $3260180 - 803 = 3259377$
   Ответ: 3,259,377.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 8 \cdot 60 \;-\;\bigl(x - 6 \cdot 12\bigr) : 3 = 120 \] Решение:
   $8 \cdot 60 = 480$
   $6 \cdot 12 = 72$
   $480 - \frac{x - 72}{3} = 120$
   $\frac{x - 72}{3} = 480 - 120 = 360$
   $x - 72 = 360 \cdot 3 = 1080$
   $x = 1080 + 72 = 1152$
   Проверка:
   $(1152 - 72) : 3 = 1080 : 3 = 360$
   $480 - 360 = 120$
   Ответ: 1152.
   
   
3. Составьте выражение и решите задачу:
   Пусть скорость такси \(v \, \text{км/ч}\).
   Расстояние в одну сторону: \(2v + 3 \cdot 72 + 0,5 \cdot 84\).
   Расстояние обратно: \(4 \cdot 84 + 0,25 \cdot 72\).
   Решение:
   $4 \cdot 84 = 336$, $0,25 \cdot 72 = 18$, сумма $336 + 18 = 354$ км.
   Уравнение:
   $2v + 3 \cdot 72 + 0,5 \cdot 84 = 354$
   $2v + 216 + 42 = 354$
   $2v = 354 - 258 = 96$
   $v = 48$
   Ответ: 48 км/ч.
   
   
4. Решите задачу по действиям:
   Объём кирпичей: \(300 \times 25 \times 60\). Новая ширина: 10 см.
   Решение:
   Объём постоянен: \(300 \cdot 25 \cdot 60 = 300 \cdot 10 \cdot h\)
   $h = \frac{25 \cdot 60}{10} = 150$ см
   Ответ: 150 см.
   
   
5. Решите задачу:
   Пусть \(a_1 + a_2 + a_3 = 21\) и т.д. Последовательность повторяется каждые 3 числа.
   Сумма первых 10 чисел: \(3 \cdot 21 + a_1 = 63 + a_1 = 80\)
   Отсюда \(a_1 = 17\). Сумма первого и десятого: \(17 + 17 = 34\)
   Ответ: 34.
   
   
6. Решите задачу:
   Пусть текущий возраст \(x\). Через 30 лет: \(x + 30 = 6x\) → \(x = 6\).
   Через \(t\) лет: \(6 + t = 12 \cdot 6 =72\) → \(t =66\)
   Ответ: через 66 лет.
   
   
7. Решите задачу:
   Первая отрезанная половина → периметр уменьшился на ширину исходного прямоугольника.
   Первоначальный периметр: \(2(a + b)\), ширина \(b =12\) см.
   После второго разреза: площадь теряется \(12 \, \text{см}^2\) → исходная площадь \(24 \, \text{см}^2\).
   Исходный периметр: \(2 \cdot (8 + 4) =24 \, \text{см}\)
   Ответ: 24 см.
   
   
8. Нарисуйте схему и решите задачу:
   Пусть скорость грузовика \(v\), машины \(1,5v\).
   В 16:00 расстояния от заправки равны: \(4v =6 \cdot 1,5v\) → Скорости соотносятся \(1:1,5\).
   Ответ: В 1,5 раза.
   
   
9. Нарисуйте чертёж и решение:
   Сторона квадрата 6 см, периметр \(4 \cdot 6 =24\) см.
   Ответ: 24 см.
   
   
10. Решите задачу:
    Условия: Гали < Вани, сумма Вани и Гали = сумма Ани и Бори.
    Девочки: Анн и Гали; мальчики: Вагн и Боря. Упорядочивание: Боря < Галя < Ваня < Аня.
    Ответ: Боря, Галя, Ваня, Аня.