Лицей №1580 из 4 в 5 класс 2021 год вариант 22

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2021 год

Вариант 22

1. Выполните по действиям: \[ (767960 - 670 \cdot 308) : 270 + 530 \]
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \[ 112 - 24 \cdot (8 \cdot 70 - x) : 8 = 16 \]
   
   
3. Решите задачу, составляя выражение: Дима решает одну задачу за 7 минут, затем 6 минут отдыхает. Петя решает одну задачу за 8 минут, затем 4 минуты отдыхает. Кто из них быстрее решит 8 задач и на сколько минут?
   
   
4. Решите задачу по действиям: Турист путешествовал на машине 7 дней. При этом каждый день он ехал со скоростью на 10 км/ч больше, чем в предыдущий день, но тратил при этом на 1 час меньше, чем в предыдущий день. Найдите расстояние, которое проехал турист за 7 дней, если в пятый день он проехал 630 км за 7 часов.
   
   
5. Решите задачу, объяснив ход решения: Если делимое уменьшить на 28, а делитель уменьшить в два раза, то частное не изменится. Найдите делимое.
   
   
6. Нарисуйте чертёж и решите задачу: Высота окна 90 см, ширина 50 см, рама слева, сверху и справа 6 см, а снизу 9 см. Найдите площадь всей рамы (высота и ширина указаны вместе с рамой).
   
   
7. Решите задачу, объяснив ход решения: Винни-Пух съел 2 кг мёда за 15 минут. Сначала он ел вилкой, затем ложкой. Ложкой он ел на 5 минут меньше, чем вилкой, но съел ложкой на 1 кг больше, чем вилкой. Во сколько раз Винни-Пух ест ложкой быстрее, чем вилкой?
   
   
8. Решите задачу, объяснив ход решения: В магазин привезли три одинаковых набора Лего. Продавец их открыл и переложил из первой коробки во вторую треть всех деталей. Затем он переложил из второй коробки в третью половину всех деталей. Затем из третьей в первую он переложил треть всех деталей. В результате в первой коробке оказалось 66 деталей, во второй 36, в третьей 60. Сколько деталей было в первой коробке изначально?
   
   
9. Решите задачу, объяснив ход решения: Треугольник со сторонами 13 см, 13 см, 10 см разрезали на два равных треугольника и сложили из них другой треугольник с периметром 50 см. Найдите площадь нового треугольника.
   
   
10. Решите задачу, объяснив ход решения: У Серёжи и Жени всего 18 яблок и 15 груш. Серёжа: «У меня яблок меньше, чем у Жени». Женя: «У меня фруктов больше, чем у Серёжи». Серёжа: «У меня меньше 7 груш». Женя: «У меня яблок больше, чем груш». Один из них оба раза врал, другой оба раза сказал правду. Сколько яблок и груш у Жени?
    
    
11. Решите задачу, объяснив ход решения: В магазин привезли три одинаковых набора Лего. Продавец открыл их и переложил из первой коробки во вторую половину всех деталей. Затем переложил из второй коробки в третью четверть всех деталей. Затем из третьей в первую переложил треть всех деталей. В результате в первой коробке оказалось 54 детали, во второй 72, в третьей 66. Сколько деталей было в первой коробке изначально?
12. Решите задачу, объяснив ход решения: Треугольник со сторонами 17 см, 17 см, 30 см разрезали на два равных треугольника и сложили из них другой треугольник с периметром 50 см. Найдите площадь нового треугольника.
    
13. Решите задачу, объяснив ход решения: У Серёжи и Жени всего 14 яблок и 17 груш. Женя: «У меня фруктов меньше, чем у Серёжи». Серёжа: «У меня яблок больше, чем у Жени». Женя: «У меня груш больше, чем яблок». Серёжа: «У меня больше 9 груш». Один из них оба раза врал, другой оба раза сказал правду. Сколько яблок и груш у Жени?

Решения задач

1. Вычислить: $\sqrt{225 - 7 \cdot 32} + 0{,}5 \cdot (12{,}5 - 48 : 3{,}2)$
   Решение: \[ \sqrt{225 - 224} + 0{,}5 \cdot (12{,}5 - 15) = \sqrt{1} + 0{,}5 \cdot (-2{,}5) = 1 - 1{,}25 = -0{,}25 \] Ответ: $-0{,}25$.
2. Решить уравнение: $-2{,}3x + 7{,}21 = 8{,}342$
   Решение: \[ -2{,}3x = 8{,}342 - 7{,}21 = 1{,}132 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1{,}132}{-2{,}3} = -0{,}492 \] Ответ: $-0{,}492$.
3. Купили некоторое количество ящиков яблок по 8 кг в каждом и столько же ящиков по 6 кг. Масса всех ящиков 140 кг. На сколько килограммов масса ящика в 8 кг больше массы ящика в 6 кг?
   Решение: Пусть купили $x$ ящиков каждого типа. Тогда: \[ 8x + 6x = 140 \quad \Rightarrow \quad 14x = 140 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Разница массы одного ящика: $8 - 6 = 2$ кг. Общая разница: $2 \cdot 10 = 20$ кг.
   Ответ: На 20 кг.
4. В квартире три комнаты. Площадь первой комнаты 15 м$^2$, площадь второй — 16 м$^2$. Найти площадь третьей комнаты, если общая площадь всех комнат 42 м$^2$.
   Решение: \[ 42 - 15 - 16 = 11 \text{ м}^2 \] Ответ: 11 м$^2$.
5. Какое число надо поставить вместо $\ast$, чтобы число 45$\ast$7 делилось на 9?
   Решение: Сумма цифр: $4 + 5 + \ast + 7 = 16 + \ast$. Чтобы делилось на 9: \[ 16 + \ast = 18 \quad \Rightarrow \quad \ast = 2 \] Ответ: 2.
6. Папе, маме и сыну вместе 63 года. Возраст сына составляет $\frac{1}{3}$ возраста мамы, а возраст мамы составляет 80% возраста папы. Сколько лет каждому из них?
   Решение: Пусть папе $x$ лет, тогда маме $0{,}8x$, сыну $\frac{0{,}8x}{3}$. Сумма: \[ x + 0{,}8x + \frac{0{,}8x}{3} = 63 \quad \Rightarrow \quad \frac{31x}{15} = 63 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{945}{31} \approx 30{,}5 \] Папа: $\approx30{,}5$ лет, мама: $24{,}4$ лет, сын: $8{,}13$ лет.
   Ответ: Папа — $\frac{945}{31}$ лет, мама — $\frac{756}{31}$ лет, сын — $\frac{252}{31}$ лет.
7. Как построить угол в $120^\circ$ без транспортира, используя циркуль и линейку?
   Решение: 1. Построить равносторонний треугольник (угол $60^\circ$). 2. Продлить сторону треугольника за вершину: внешний угол составит $120^\circ$.
   Ответ: Построением смежного угла к $60^\circ$.
8. Исследовать функцию $y = x^2 - 3x$:
   1. Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
      Ответ: $(-\infty; +\infty)$.
   2. Точки пересечения с осями: \[ x = 0 \Rightarrow y = 0; \quad y = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } 3 \] Ответ: $(0; 0)$, $(3; 0)$.
   3. Промежутки монотонности: \[ y' = 2x - 3. \text{ Убывает при } x \frac{3}{2}. \]
   4. Экстремум: \[ x = \frac{3}{2}, \quad y = -\frac{9}{4} \] Ответ: Минимум в $\left(\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right)$.
   5. График — парабола с вершиной $\left(\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right)$.
9. Решить неравенство: $(x - 2)(x - 3) \geq 0$
   Решение: Метод интервалов: корни $x = 2$ и $x = 3$. Знаки: $+$ на $(-\infty; 2]$, $-$ на $(2; 3)$, $+$ на $[3; +\infty)$.
   Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.
10. В парке растут дубы и клёны в отношении 3:5. Сколько дубов растёт в парке, если клёнов на 124 больше?
    Решение: Пусть одна часть равна $d$, тогда: \[ 5d - 3d = 124 \quad \Rightarrow \quad d = 62 \] Количество дубов: $3 \cdot 62 = 186$.
    Ответ: 186 дубов.
11. Решить уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$
    Решение: \[ x^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \] При $x = -3$ знаменатель обращается в ноль. Ответ: $x = 3$.
    Ответ: 3.
12. Велосипедист ехал 2 часа по грунтовой дороге со скоростью 14 км/ч и 3 часа по шоссе со скоростью 25 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста.
    Решение: Общий путь: $2 \cdot 14 + 3 \cdot 25 = 28 + 75 = 103$ км. Время: 5 ч. \[ v_{\text{ср}} = \frac{103}{5} = 20{,}6 \text{ км/ч} \] Ответ: $20{,}6$ км/ч.