Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2022 вариант 1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2022 год

Вариант 1

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a^3 + b^3}{a + b} - \frac{a^3 - b^3}{a - b}\Bigr)\cdot(a^{-1} + b^{-1}) + 2(a + b). \]
2. Два каменщика выложили стены дома, сначала работая вместе 8 дней, а затем первый ещё 7 дней в одиночку. Если бы каждый работал отдельно, то первому потребовалось бы на 7 дней меньше, чем второму. За сколько дней каждый из них может выложить стены дома?
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x| \le 2,\\ \displaystyle\frac{1}{2 - x} \le 1. \end{cases} \]
4. Решите уравнение: \[ \sqrt{2}\cos^2 x = \sin x. \]
5. Решите уравнение: \[ 6 + |3x + 9| = x + x^2. \]
6. Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 12 и делит прямой угол в отношении \(1:2\). Найдите площадь треугольника.
7. Сумма второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите сумму первых восьми её членов.
8. Касательная к графику \(f(x)=3x^3-18x^2+37x-3\) образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(45^\circ\). Найдите абсциссу точки касания.
9. Расстояние от точки \(A\) до всех сторон квадрата равно 5 м. Найдите расстояние от \(A\) до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 2 м.
10. Найдите все значения параметра \(a\), при которых парабола \[ y = (a + 2)x^2 + 2(a + 2)x + 6 \] полностью лежит ниже прямой \(y = 7\).

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a^3 + b^3}{a + b} - \frac{a^3 - b^3}{a - b}\Bigr)\cdot(a^{-1} + b^{-1}) + 2(a + b). \]
   Решение: Упростим каждую дробь отдельно: \[ \frac{a^3 + b^3}{a + b} = a^2 - ab + b^2, \quad \frac{a^3 - b^3}{a - b} = a^2 + ab + b^2. \] Разность дробей: \[ (a^2 - ab + b^2) - (a^2 + ab + b^2) = -2ab. \] Умножим на $(a^{-1} + b^{-1})$: \[ -2ab \cdot \frac{a + b}{ab} = -2(a + b). \] Добавим $2(a + b)$: \[ -2(a + b) + 2(a + b) = 0. \] Ответ: 0.
   
   
2. Два каменщика выложили стены дома, сначала работая вместе 8 дней, а затем первый ещё 7 дней в одиночку. Если бы каждый работал отдельно, то первому потребовалось бы на 7 дней меньше, чем второму. За сколько дней каждый из них может выложить стены дома?
   Решение: Пусть первый выполняет работу за $x$ дней, тогда второй — за $x + 7$ дней. Уравнение совместной работы: \[ 8\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7}\right) + \frac{7}{x} = 1. \] Решим уравнение: \[ \frac{8(2x + 7) + 7(x + 7)}{x(x + 7)} = 1 \implies x^2 - 16x - 105 = 0. \] Корни: $x = 21$ (первый каменщик), второй — $21 + 7 = 28$ дней.
   Ответ: 21 день и 28 дней.
   
   
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x| \le 2,\\ \displaystyle\frac{1}{2 - x} \le 1. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство: $x \in [-2, 2]$.
   Второе неравенство преобразуем: \[ \frac{1}{2 - x} - 1 \le 0 \implies \frac{x - 1}{2 - x} \le 0. \] Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup (2, \infty)$. Пересечение с $[-2, 2]$: \[ x \in [-2, 1]. \] Ответ: $[-2, 1]$.
   
   
4. Решите уравнение: \[ \sqrt{2}\cos^2 x = \sin x. \]
   Решение: Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: \[ \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) = \sin x \implies \sqrt{2}\sin^2 x + \sin x - \sqrt{2} = 0. \] Корни: \[ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin x = -\sqrt{2}\ (\text{не подходит}). \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}. \] Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
   
   
5. Решите уравнение: \[ 6 + |3x + 9| = x + x^2. \]
   Решение: Разберем два случая:
   1. $3x + 9 \ge 0 \implies x \ge -3$: \[ 6 + 3x + 9 = x^2 + x \implies x^2 - 2x - 15 = 0 \implies x = 5,\ x = -3. \]
   2. $3x + 9 < 0 \implies x < -3$: \[ 6 - 3x - 9 = x^2 + x \implies x^2 + 4x + 3 = 0 \implies x = -1,\ x = -3\ (\text{не подходят}). \]
   Ответ: $x = -3$, $x = 5$.
   
   
6. Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 12 и делит прямой угол в отношении $1:2$. Найдите площадь треугольника.
   Решение: Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: гипотенуза $= 24$.
   Углы при медиане: $30^\circ$ и $60^\circ$. Катеты: $12$, $12\sqrt{3}$.
   Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3}. \] Ответ: $72\sqrt{3}$.
   
   
7. Сумма второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите сумму первых восьми её членов.
   Решение: \[ a_2 + a_7 = a_1 + d + a_1 + 6d = 2a_1 + 7d = 5. \] Сумма первых восьми членов: \[ S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 4 \cdot 5 = 20. \] Ответ: 20.
   
   
8. Касательная к графику $f(x)=3x^3-18x^2+37x-3$ образует угол $45^\circ$. Найдите абсциссу точки касания.
   Решение: Угловой коэффициент касательной $k = \tan 45^\circ = 1$. Производная: \[ f'(x) = 9x^2 - 36x + 37 = 1 \implies 9x^2 - 36x + 36 = 0 \implies x = 2. \] Ответ: 2.
   
   
9. Расстояние от точки $A$ до всех сторон квадрата равно 5 м. Найдите расстояние от $A$ до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 2 м.
   Решение: Сторона квадрата: $\sqrt{2}$. Центр квадрата удален от стороны на $\frac{1}{\sqrt{2}}$. По теореме Пифагора: \[ h^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 5^2 \implies h = \frac{7}{\sqrt{2}}. \] Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{2}$ м.
   
   
10. Найдите все значения параметра $a$, при которых парабола \[ y = (a + 2)x^2 + 2(a + 2)x + 6 \] полностью лежит ниже прямой $y = 7$.
    Решение: Условия:
    1. $a + 2 < 0 \implies a < -2$,
    2. Максимум параболы меньше 7: \[ y_{\text{верш}} = -\frac{(2(a + 2))^2}{4(a + 2)} + 6 = -a - 2 + 6 < 7 \implies -a -3. \]
    Ответ: $a \in (-3, -2)$.