Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2019 вариант 1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2019 год

Вариант 1

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a^3 + b^3}{a + b} - \frac{a^3 - b^3}{a - b}\Bigr)\cdot(a^{-1} + b^{-1}) + 2(a + b). \]
2. Два каменщика выложили стены дома, сначала работая вместе 8 дней, а затем первый ещё 7 дней в одиночку. Если бы каждый работал отдельно, то первому потребовалось бы на 7 дней меньше, чем второму. За сколько дней каждый из них может выложить стены дома?
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x| \le 2,\\ \displaystyle\frac{1}{2 - x} \le 1. \end{cases} \]
4. Решите уравнение: \[ \sqrt{2}\cos^2 x = \sin x. \]
5. Решите уравнение: \[ 6 + |3x + 9| = x + x^2. \]
6. Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 12 и делит прямой угол в отношении \(1:2\). Найдите площадь треугольника.
7. Сумма второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите сумму первых восьми её членов.
8. Касательная к графику \(f(x)=3x^3-18x^2+37x-3\) образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(45^\circ\). Найдите координаты точки касания.
9. Расстояние от точки \(A\) до всех сторон квадрата равно 5 м. Найдите расстояние от \(A\) до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 2 м.
10. Найдите все значения параметра \(a\), при которых парабола \[ y = (a + 2)x^2 + 2(a + 2)x + 6 \] полностью лежит ниже прямой \(y = 7\).

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a^3 + b^3}{a + b} - \frac{a^3 - b^3}{a - b}\Bigr)\cdot(a^{-1} + b^{-1}) + 2(a + b). \]
   Решение: Используя формулы суммы/разности кубов: \[ \frac{a^3 + b^3}{a + b} - \frac{a^3 - b^3}{a - b} = (a^2 - ab + b^2) - (a^2 + ab + b^2) = -2ab. \] Умножаем на \(a^{-1} + b^{-1} = \frac{a + b}{ab}\): \[ -2ab \cdot \frac{a + b}{ab} = -2(a + b). \] Подставляем в выражение: \[ -2(a + b) + 2(a + b) = 0. \] Ответ: \(0\).
   
   
2. Два каменщика выложили стены дома, сначала работая вместе 8 дней, а затем первый ещё 7 дней в одиночку. За сколько дней каждый может выложить стены дома?
   Решение: Пусть время первого \(x\), второго \(x + 7\). Составляем уравнение: \[ 8\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7}\right) + \frac{7}{x} = 1. \] Решая: \[ 8(2x + 7) + 7(x + 7) = x(x + 7) \Rightarrow x^2 - 16x - 105 = 0. \] Корень \(x = 21\). Ответ: первый за \(21\) день, второй за \(28\) дней.
   
   
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x| \le 2,\\ \frac{1}{2 - x} \le 1. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство: \(x \in [-2; 2]\). Преобразуем второе: \[ \frac{x - 1}{2 - x} \le 0 \Rightarrow x \in (-\infty;1] \cup (2;\infty). \] Пересечение: \(x \in [-2;1]\). Ответ: \([-2;1]\).
   
   
4. Решите уравнение: \[ \sqrt{2}\cos^2 x = \sin x. \] Решение: Замена \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) = \sin x \Rightarrow \sqrt{2}\sin^2 x + \sin x - \sqrt{2} = 0. \] Корни \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Ответ: \(x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k\).
   
   
5. Решите уравнение: \[ 6 + |3x + 9| = x + x^2. \] Решение: Рассмотрим два случая:
   • \(3x + 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\): \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \Rightarrow x = 5;\; x = -3. \]
   • \(3x + 9 < 0 \Rightarrow x < -3\): \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow \text{нет корней}. \]
   Ответ: \(-3\); \(5\).
   
   
6. Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 12. Найдите площадь.
   Решение: Гипотенуза \(24\). Углы \(30^\circ\), \(60^\circ\), катеты \(12\) и \(12\sqrt{3}\). Площадь \(\frac{12 \cdot 12\sqrt{3}}{2} = 72\sqrt{3}\). Ответ: \(72\sqrt{3}\).
   
   
7. Сумма второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите сумму первых восьми её членов.
   Решение: \(a_2 + a_7 = 5 \Rightarrow 2a_1 + 7d = 5\). Сумма \(S_8 = 8 \cdot \frac{2a_1 + 7d}{2} = 20\). Ответ: \(20\).
   
   
8. Касательная к графику \(f(x)\) образует угол \(45^\circ\). Найдите точку касания.
   Решение: Производная \(f'(x) = 1\), уравнение \(9x^2 - 36x + 37 = 1\). Корень \(x = 2\), \(f(2) = 23\). Ответ: \((2;23)\).
   
   
9. Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости квадрата.
   Решение: Диагональ квадрата \(2\), сторона \(\sqrt{2}\). Высота \(h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{7}{\sqrt{2}}\). Ответ: \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) м.
   
   
10. Найдите значения параметра \(a\), при которых парабола лежит ниже прямой \(y = 7\).
    Решение: Коэффициент \(a + 2 < 0\), вершина \(y_{\text{верш}} = -a + 4 < 7\), дискриминант уравнения \((a + 2)x^2 + 2(a + 2)x -1 = 0\) отрицателен: \[ D = 4(a + 2)(a + 3) < 0 \Rightarrow a \in (-3; -2). \] Ответ: \(-3 < a < -2\).