Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2012 вариант 1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2012 год

Вариант 1

1. Решите неравенство: \[ \frac{x}{x^2 + 4x + 3} \;\le\; \frac{1}{x + 2}. \]
2. Упростите выражение: \[ \Bigl((x + y)^{-1} - \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}\Bigr) : \frac{3xy}{x^3 + y^3}. \]
3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) высота \(CH\), проведённая из прямого угла, равна 3. Найдите гипотенузу \(AB\) и косинус угла \(CAB\), если \(AH = 2\).
4. Решите уравнение: \[ (3 - 2x)^2 = 2\cdot|2 - x| + 1. \]
5. Решите уравнение: \[ \bigl(\cot x + \sqrt{3}\bigr)\,\sin2x = 0. \]
6. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна 20, что в 2 раза больше суммы второго и четвёртого членов.
7. Найдите производную функции \[ f(x) = \bigl(2x^2 + 1\bigr)\,h(x) + x + \sqrt{3}, \] если известно, что \(h\) дифференцируема, и \(h(5)=2\), \(h'(5)=1\). Вычислите \(f(5)\) и \(f'(5)\).
   
   
8. Упростите выражение: \[ 4^{\log_2 5} + \log_3\!\Bigl(\tfrac1{27}\Bigr) + \log_{\sqrt2}4 - \log_2\sqrt{2}. \]
   
   
9. Товар стоимостью 1 000 000 ₽ подорожал на 6%, затем стал дешевле на 8%, потом снова подорожал на 2%. Найдите его окончательную стоимость.
   
   
10. Изобразите множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \;\ge\; 0,\\ |x| \;\le\; 2,\\ |y| \;\le\; 3, \end{cases} \] и найдите площадь полученной фигуры.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{x}{x^2 + 4x + 3} \leq \frac{1}{x + 2} \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{x}{(x + 1)(x + 3)} - \frac{1}{x + 2} \leq 0 \] После приведения к общему знаменателю и упрощения получим: \[ \frac{2x + 3}{(x + 1)(x + 3)(x + 2)} \geq 0 \] Критические точки: \(x = -3\), \(x = -2\), \(x = -1.5\), \(x = -1\). Разбиваем числовую ось на интервалы и проверяем знаки:
   Ответ: \(\boxed{(-\infty, -3) \cup [-2, -1.5] \cup (-1, \infty)}\).
   
   
2. Упростите выражение: \[ \Bigl((x + y)^{-1} - \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}\Bigr) : \frac{3xy}{x^3 + y^3} \]
   Решение: Преобразуем числитель: \[ \frac{-3xy}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)} \] Подставляя \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\), упрощаем выражение:
   Ответ: \(\boxed{-1}\).
   
   
3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) высота \(CH = 3\), \(AH = 2\). Найдите \(AB\) и \(\cos \angle CAB\).
   Решение: Используем свойство высоты прямоугольного треугольника: \[ CH^2 = AH \cdot HB \Rightarrow 9 = 2 \cdot HB \Rightarrow HB = 4.5 \Rightarrow AB = 6.5 \] По теореме Пифагора находим \(AC\) и \(\cos \angle CAB\): \[ AC = \sqrt{AH \cdot AB} = \sqrt{13}, \quad \cos \angle CAB = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \] Ответ: \(\boxed{AB = 6{,}5}\), \(\boxed{\cos \angle CAB = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}}\).
   
   
4. Решите уравнение: \[ (3 - 2x)^2 = 2\cdot|2 - x| + 1 \]
   Решение: Рассматриваем случаи \(x \leq 2\) и \(x > 2\): \[ 4x^2 - 10x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = 0.5 \] Ответ: \(\boxed{\left\{\dfrac{1}{2}; 2\right\}}\).
   
   
5. Решите уравнение: \[ \bigl(\cot x + \sqrt{3}\bigr)\,\sin2x = 0 \]
   Решение: Разбиваем на два уравнения: \[ \cot x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + \pi k; \quad \sin2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} \] Ответ: \(\boxed{x = \dfrac{\pi n}{2}; x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \, n, k \in \mathbb{Z}}\).
   
   
6. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии:
   Решение: Система уравнений: \[ a + aq^2 = 20, \quad 2(aq + aq^3) = 20 \] Решая, находим \(q = \frac{1}{2}\), \(a = 16\). Ответ: \(\boxed{16}\), \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\).
   
   
7. Найдите производную функции \(f(x)\):
   Решение: Используем правила дифференцирования: \[ f'(x) = 4x h(x) + (2x^2 + 1)h'(x) + 1, \quad f(5) = 107 + \sqrt{3}, \quad f'(5) = 92 \] Ответ: \(f(5) = \boxed{107 + \sqrt{3}}\), \(f'(5) = \boxed{92}\).
   
   
8. Упростите выражение: \[ 4^{\log_2 5} + \log_3\!\Bigl(\tfrac1{27}\Bigr) + \log_{\sqrt2}4 - \log_2\sqrt{2} \]
   Решение: Последовательно вычисляем: \[ 4^{\log_2 5} = 25, \quad \log_3(27^{-1}) = -3, \quad \log_{\sqrt2}4 = 4, \quad \log_2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{51}{2}}\).
   
   
9. Найдите окончательную стоимость товара:
   Решение: Последовательно применяем изменения цены: \[ 1\,000\,000 \times 1.06 \times 0.92 \times 1.02 = 994\,704 \] Ответ: \(\boxed{994704}\) руб.
   
   
10. Найдите площадь фигуры:
    Решение: Площадь прямоугольника минус площадь круга: \[ 24 - 4\pi \] Ответ: \(\boxed{24 - 4\pi}\).