8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2005 вариант 5

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2005
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА


2005 год


Вариант 5



  1. Упростите выражение: \[ \frac{ \bigl[(x + \sqrt{4x + 1})^{0.5} - (1 + \sqrt[4]{x})^{-1}\,(1 + \sqrt[4]{x^3})\bigr]\,(6 - \sqrt{63}) }{ 3\,(1 + \sqrt{x})^{-1}\,(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x^3})\,\sqrt{11 - \sqrt{112}} }. \]
  2. Решите уравнение \[ 4\tan\frac{81\pi}{4} - 5\sin\Bigl(x + \frac{4\pi x}{2}\Bigr) - 2\sin^2\bigl(x - 119\pi\bigr) = 0, \] указав лишь те корни, которые принадлежат области определения функции \[ y = \sqrt{\frac{7\pi}{3}\,x - x^2}. \]
  3. Второй член арифметической прогрессии равен наибольшему значению функции \(\;y = x^3 - 12x\)\; на отрезке \([1,3]\), а девятый член прогрессии равен наименьшему значению этой функции на том же отрезке. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

  4. Решите неравенство: \[ \sqrt{9x^2 - 6x + 1} - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \;\le\; 2. \]
  5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ x^2 + 2ax + 2a^2 + 7a + 6 = 0 \] имеет два различных положительных корня.
  6. Через сторону \(AC\) треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\) под углом \(45^\circ\) к стороне \(BC\). Найдите угол между стороной \(AB\) и плоскостью \(\alpha\), если \(AC=BC\), а угол \(C\) равен \(90^\circ\).
  7. Запишите уравнение касательной к графику функции \[ f(x) = 4 - x^2, \] которая параллельна прямой \(y = 2x - 3\), и вычислите длину отрезка, отсекаемого этой касательной от оси \(Ox\).
  8. Вычислите: \[ \frac{\log_3 12}{\log_{36} 3} \;-\; \frac{\log_3 4}{\log_{108} 3}. \]
  9. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(AC:AB = 4:5\). Окружность с центром на катете \(AC\) касается гипотенузы \(AB\) и пересекает катет \(BC\) в точке \(P\) так, что \(BP:PC = 2:3\). Найдите отношение радиуса этой окружности к длине катета \(BC\).
  10. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{|x + 3|}{x^2 + 5x + 6} \ge 2,\\[6pt] |x| \le \tfrac{3}{2}. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{ \bigl[(x + \sqrt{4x + 1})^{0.5} - (1 + \sqrt[4]{x})^{-1}\,(1 + \sqrt[4]{x^3})\bigr]\,(6 - \sqrt{63}) }{ 3\,(1 + \sqrt{x})^{-1}\,(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x^3})\,\sqrt{11 - \sqrt{112}} } \] Решение:
    • Упростим выражение в числителе: \[ (1+\sqrt[4]{x})^{-1}(1+\sqrt[4]{x^3}) = \frac{1+\sqrt[4]{x^3}}{1+\sqrt[4]{x}} = \frac{(1+\sqrt[4]{x})(1-\sqrt[4]{x}+\sqrt{x})}{1+\sqrt[4]{x}} = 1-\sqrt[4]{x}+\sqrt{x} \]
    • Подставим $\sqrt{4x+1} = 2\sqrt{x} + 1$ при $x \geq 0$
    • Знаменатель: $\sqrt{11-\sqrt{112}} = \sqrt{7} - 2$
    • После сокращения получим: $\boxed{\dfrac{2(\sqrt{x} - \sqrt[4]{x})}{3}}$
    Ответ: $\dfrac{2(\sqrt{x} - \sqrt[4]{x})}{3}$.

  2. Решите уравнение: \[ 4\tan\frac{81\pi}{4} - 5\sin\Bigl(x + \frac{4\pi x}{2}\Bigr) - 2\sin^2\bigl(x - 119\pi\bigr) = 0 \] Решение:
    • $\tan\frac{81\pi}{4} = \tan\left(20\pi + \frac{\pi}{4}\right) = 1$
    • Уравнение: $4 \cdot 1 - 5\sin(x + 2\pi x) - 2\sin^2(x - \pi) = 0$
    • Учитывая периодичность синусов и $\sin(x-\pi) = -\sin x$: \[ 4 - 5\sin(x(1+2\pi)) + 2\sin^2x = 0 \]
    • Т.к. $\sin(x(1+2\pi)) = \sin x$, получаем уравнение: \[ 2\sin^2x + 5\sin x - 4 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4} \]
    • Область определения функции $y = \sqrt{\frac{7\pi}{3}x - x^2}$ требует $x \in [0, \frac{7\pi}{3}]$
    • Из допустимых решений только $x = \frac{\pi}{2}$
    Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

  3. Второй член арифметической прогрессии равен наибольшему значению функции $y = x^3 - 12x$ на [1,3], девятый член равен наименьшему значению. Найдите сумму первых десяти членов. Решение:
    • Найдем критические точки: $y' = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm2$
    • На отрезке [1,3] максимум в x=1: $y(1) = -11$, минимум в x=2: $y(2) = -16$
    • Прогрессия: $a_2 = -11$, $a_9 = -16$ \[ \begin{cases} a_1 + d = -11 \\ a_1 + 8d = -16 \end{cases} \Rightarrow d = -\frac{5}{7}, a_1 = -\frac{72}{7} \]
    • Сумма: $S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = \boxed{-135}$
    Ответ: -135.

  4. Решите неравенство: \[ \sqrt{9x^2 - 6x + 1} - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \le 2 \] Решение:
    • Преобразуем корни: $\sqrt{(3x-1)^2} - \sqrt{(x+2)^2} = |3x-1| - |x+2|$
    • Рассмотрим случаи:
      1. $x \ge \frac{1}{3}$: $3x-1 - (x+2) \le 2 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{2}$
      2. $-2 \le x < \frac{1}{3}$: $1 - 3x - (x+2) \le 2 \Rightarrow -4x \le 3 \Rightarrow x \ge -\frac{3}{4}$
      3. $x < -2$: $1 - 3x - (-x-2) \le 2 \Rightarrow -2x + 3 \le 2 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$ (противоречие)
    • Объединяя решения: $x \in [-\frac{3}{4}, \frac{5}{2}]$
    Ответ: $[-\frac{3}{4}, \frac{5}{2}]$.

  5. Найдите все значения параметра $a$ для уравнения: \[ x^2 + 2ax + 2a^2 + 7a + 6 = 0 \] Решение:
    • Условия для двух положительных корней: \[ \begin{cases} D = 4a^2 - 4(2a^2 +7a +6) > 0 \\ x_1 + x_2 = -2a > 0 \\ x_1x_2 = 2a^2 +7a +6 > 0 \end{cases} \]
    • Решаем:
      1. $D = -4( -a^2 -7a -6 ) > 0 \Rightarrow -a^2 -7a -6 > 0 \Rightarrow a \in (-6,-1)$
      2. $-2a > 0 \Rightarrow a < 0$
      3. Дискриминант квадратного трехчлена в третьем условии $<0$, значит всегда положителен
    • Пересечение условий: $a \in (-6,-1)$
    Ответ: $a \in (-6,-1)$.

  6. Найдите угол между стороной AB и плоскостью α. Дано: AC=BC, ∠C=90°, плоскость α через AC под 45° к BC. Решение:
    • Поскольку плоскость образует 45° с BC, высота из B на плоскость равна $\frac{BC}{\sqrt{2}}$
    • Искомый угол φ: $\sinφ = \frac{h}{AB} = \frac{BC}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} BC} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 30°$
    Ответ: 30°.

  7. Уравнение касательной к $f(x) = 4 - x^2$ параллельной $y=2x-3$: Решение:
    • Производная $f'(x) = -2x = 2 \Rightarrow x = -1$
    • Точка касания: $(-1, 3)$
    • Уравнение: $y = 2(x +1) +3 = 2x + 5$
    • Пересечение с Ox: $x = -\frac{5}{2}$ ⇒ длина отрезка $\frac{5}{2}$
    Ответ: $\frac{5}{2}$.

  8. Вычислите выражение с логарифмами: \[ \frac{\log_3 12}{\log_{36} 3} - \frac{\log_3 4}{\log_{108} 3} \] Решение:
    • Используя формулу $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$: \[ \log_3 12 \cdot \log_3 36 - \log_3 4 \cdot \log_3 108 = \log_3 (4 \cdot 3) \cdot \log_3 (4 \cdot 9) - \log_3 4 \cdot \log_3 (4 \cdot 27) \]
    • После преобразований получим $3$.
    Ответ: 3.

  9. Отношение радиуса окружности к BC в треугольнике с AC:AB=4:5: Решение:
    • Пусть AC=4k, AB=5k ⇒ BC=3k (по теореме Пифагора)
    • Радиус r: Из подобия треугольников $r/BC = 2/5$
    Ответ: $2/5$.

  10. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{|x + 3|}{x^2 + 5x + 6} \ge 2 \\ |x| \le \tfrac{3}{2} \end{cases} \] Решение:
    • Знаменатель: $x^2 +5x +6 = (x+2)(x+3)$. Область определения: $x \ne -2, x \ne -3$
    • Первое неравенство: \[ \frac{|x+3|}{(x+2)(x+3)} \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{|x+2|} \ge 2 \]
    • Решения: $|x+2| \le \frac{1}{2} ⇒ x \in [-2.5, -1.5]$
    • Пересекая с $|x| \le 1.5$ ⇒ $x \in [-1.5, -1.5]$ (только точка $-1.5$)
    Ответ: $-1.5$.
Материалы школы Юайти