Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2005 вариант 4

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2005 год

Вариант 4

1. Упростите выражение: \[ \biggl( \frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x^2} - \sqrt{512x + 16}}{(x - \sqrt{64x})(\sqrt{x} - 4)} \,\biggr) \cdot(\sqrt{x^2} - \sqrt{8x}) \;\times\; 2^{-3}. \]
   
   
2. Решите уравнение и укажите корни, удовлетворяющие неравенству: \[ \sin3x + 2\cos^2 4x - \cos8x = 2, \quad (0.5x + \tfrac{\pi}{3})\,(x - \pi) \le 0. \]
   
   
3. Два самолёта вылетают одновременно из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу (\(v_a > v_b\)) и встречаются на расстоянии 300 км от середины отрезка \(AB\). Если бы первый самолёт вылетел на 1 ч позже второго, они столкнулись бы ровно в середине \(AB\). Во втором случае, когда второй самолёт вылетел бы на 1 ч позже первого, точка встречи сместилась бы на 50 км ближе к \(B\). Найдите скорости самолётов \(v_a\) и \(v_b\).
   
   
4. Решите неравенство: \[ \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 4x + 4} \;>\; 5. \]
5. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ a x^2 - 9x + 54 - 36a = 0 \] имеет два различных положительных корня.
6. Правильные равные треугольники \(ABC\) и \(ADC\) расположены так, что вершина \(B\) треугольника \(ABC\) проецируется в центр треугольника \(ADC\). Найдите косинус угла между плоскостями \((ABC)\) и \((ADC)\).
7. Записать уравнение касательной к графику функции \[ f(x) = x^2 + 3x + 2, \] параллельной прямой \(y = x + 1\).
8. Вычислите выражение: \[ \log_{\sqrt{5}} 54 \;-\; \log_{4} 9^6. \]
9. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(BC = 6\). Из вершины \(C\) к гипотенузе опущены высота \(CD\) и биссектриса \(CE\), причём \(AE = 2\). Найдите гипотенузу \(AB\) и катет \(AC\).
10. Найдите все корни уравнения \[ |x^2 + x - 1| = 2x - 1, \] удовлетворяющие неравенству \(x < \tfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \biggl( \frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x^2} - \sqrt{512x + 16}}{(x - \sqrt{64x})(\sqrt{x} - 4)} \,\biggr) \cdot(\sqrt{x^2} - \sqrt{8x}) \;\times\; 2^{-3} \] Решение: \[ \frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{x+2}} = \sqrt{\frac{x+8}{x+2}}. \quad \text{Заметим, что} \quad \frac{x+8}{x+2} = 1 + \frac{6}{x+2}. \] Рассмотрим второе слагаемое: \[ \sqrt{x^2} = |x|, \quad \sqrt{512x + 16} = 4\sqrt{32x + 1}. \quad \text{Знаменатель:} \quad (x - 8\sqrt{x})(\sqrt{x} - 4) = (\sqrt{x}(\sqrt{x} - 8))(\sqrt{x} - 4). \] После упрощения и сокращений получим выражение: \[ \sqrt{x+8} + \sqrt{x+2} \cdot 4\sqrt{2x} \quad \text{и умножение на} \quad \sqrt{x} - 2\sqrt{2}. \] Окончательное упрощение показывает, что выражение равно: \[ \frac{1}{8} \cdot 8 = 1. \] Ответ: \(1\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sin3x + 2\cos^2 4x - \cos8x = 2. \] Решение: Используем тригонометрические тождества: \[ 2\cos^2 4x = 1 + \cos8x, \quad \text{уравнение преобразуется:} \] \[ \sin3x + 1 + \cos8x - \cos8x = 2 \quad \Rightarrow \sin3x = 1. \] Общее решение: \[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}. \] Учитывая неравенство: \[ (0.5x + \tfrac{\pi}{3})(x - \pi) \le 0 \quad \Rightarrow x \in [-\tfrac{2\pi}{3}, \pi]. \] Подходящие корни: \(x = \frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{5\pi}{6}\). Ответ: \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\).
   
   
3. Скорости самолётов: Пусть расстояние между \(A\) и \(B\) равно \(S\) км. Первая встреча: \[ \frac{S/2 + 300}{v_a} = \frac{S/2 - 300}{v_b} \quad (1). \] Второй случай: \[ \frac{S/2}{v_a} = \frac{S/2}{v_b} + 1 \quad (2). \] Третий случай: \[ \frac{S/2 + 250}{v_a} = \frac{S/2 - 250}{v_b} \quad (3). \] Решая систему (1)-(3), получим \(v_a = 600\) км/ч, \(v_b = 400\) км/ч. Ответ: \(600\) км/ч, \(400\) км/ч.
   
   
4. Решите неравенство: \[ \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-2)^2} > 5 \quad \Rightarrow |x+1| + |x-2| > 5. \] Рассмотрим случаи: 1. \(x 5 \quad \Rightarrow x < -2\). 2. \(-1 \le x 5 \quad \Rightarrow 3 > 5\) — нет решений. 3. \(x \ge 2\): \(x+1 + x-2 > 5 \quad \Rightarrow x > 3\). Ответ: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).
   
   
5. Найдите \(a\) для положительных корней: \[ a x^2 - 9x + 54 - 36a = 0 \quad \Rightarrow x^2 - \frac{9}{a}x + \frac{54}{a} - 36 = 0. \] Условия: дискриминант \(D > 0\), корни \(x_1 + x_2 > 0\), \(x_1 x_2 > 0\). Решение: \(a \in (0, \frac{3}{2})\).
   
   
6. Косинус угла между плоскостями: Поскольку проекция вершины \(B\) в центр треугольника \(ADC\), угол между плоскостями определяется через координаты. Ответ: \(\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
   
   
7. Уравнение касательной к \(f(x) = x^2 + 3x + 2\): Угловой коэффициент касательной \(k = 1\), тогда \(f'(x) = 2x + 3 = 1 \quad \Rightarrow x = -1\). Уравнение: \(y = x + 0\). Ответ: \(y = x\).
   
   
8. Вычислите: \[ \log_{\sqrt{5}} 54 = 4 \log_5 54, \quad \log_4 9^6 = 6 \log_4 9. \] Преобразуя, получим \(-10\). Ответ: \(-10\).
   
   
9. Гипотенуза \(AB\) и катет \(AC\): Используя теорему о биссектрисе и высоте, получим \(AB = 10\), \(AC = 8\). Ответ: \(AB = 10\), \(AC = 8\).
   
   
10. Решите уравнение \(|x^2 + x - 1| = 2x - 1\): Разбор случаев: 1. \(x^2 + x - 1 = 2x -1 \quad \Rightarrow x^2 -x = 0 \quad \Rightarrow x = 0, 1\). 2. \(-(x^2 + x -1) = 2x -1 \quad \Rightarrow x^2 + 3x -2 = 0 \quad \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\). Учитывая \(x < \frac{\sqrt{3}}{3}\), подходит \(x = 0\). Ответ: \(0\).