8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2005 вариант 3

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2005
Печать
youit.school ©

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА


2005 год


Вариант 3



  1. В сосуде было 12 л чистой кислоты. Часть раствора отлили, а сосуд снова долили водой до исходного объёма. Затем отлили ещё столько же и снова долили водой. Сколько литров отливали каждый раз, если в конце получился 25 % раствор кислоты?
  2. Упростите выражение и найдите \(f'(x)\), если \[ f(x) = \Bigl( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}} + \frac{x-2}{\sqrt{x^2 - 4} - x + 2} \Bigr)^{-2}. \]
  3. Вычислите: \[ 25^{\log_{16}2} + \log_{5}\sqrt{7}. \]
  4. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert 4 - x\rvert - x}{\lvert x - 6\rvert - 2} > 2. \]
  5. Решите уравнение: \[ x^2 - 3x + \frac{12}{x} + \frac{16}{x^2} = 8. \]
  6. Решите неравенство: \[ \sqrt{\sin\!\Bigl(2x + \frac{3\pi}{4}\Bigr)} \;\le\; \frac{1}{\sqrt{2}}. \]
  7. Прямая касается графика функции \(f(x) = -\frac{1}{x} + 3\) в точке с абсциссой \(x_0 = 1\). Найдите расстояние от начала координат до этой касательной.
  8. Определите все значения \(a\), при которых уравнение \[ x^2 + x\lfloor x\rfloor = 8 + a(x - 2) \] имеет два различных корня.
  9. В треугольнике \(ABC\) известны высоты \(h_1=1\), \(h_2=2\), \(h_3=3\). Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

  10. Из вершины прямого угла \(A\) треугольника \(ABC\) восстановлен перпендикуляр \(AD\) к плоскости треугольника, и вершина \(D\) соединена с точками \(B\) и \(C\). Найдите угол между прямыми \(BD\) и \(BC\), если угол \(\angle ABD = \arccos\!\sqrt{\tfrac{2}{3}}\), а угол \(\angle ABC = 30^\circ\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В сосуде было 12 л чистой кислоты. Часть раствора отлили, а сосуд снова долили водой до исходного объёма. Затем отлили ещё столько же и снова долили водой. Сколько литров отливали каждый раз, если в конце получился 25% раствор кислоты?
    Решение: Обозначим отливаемый объем за \( x \) л. После первого разбавления концентрация станет \( \frac{12 - x}{12} \), после второго \( \left(\frac{12 - x}{12}\right)^2 \). По условию: \[ \left(\frac{12 - x}{12}\right)^2 \cdot 12 = 0,25 \cdot 12 \] \[ \left(\frac{12 - x}{12}\right)^2 = 0,25 \quad \Rightarrow \quad \frac{12 - x}{12} = 0,5 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \]
    Ответ: 6 литров.

  2. Упростите выражение и найдите \(f'(x)\), если \[ f(x) = \Bigl( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}} + \frac{x-2}{\sqrt{x^2 - 4} - x + 2} \Bigr)^{-2} \]
    Решение: Упростим каждую дробь отдельно. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{x+2} - \sqrt{x-2} \): \[ \frac{\sqrt{x-2} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2})}{(x+2) - (x-2)} = \frac{\sqrt{x^2-4} - (x-2)}{4} \] Для второй дроби заметим, что \( \sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{(x-2)(x+2)} \). Подставим \( \sqrt{x^2 - 4} = t \): \[ \frac{x-2}{t - (x - 2)} = \frac{x-2}{t - x + 2} \] После упрощений получаем: \[ f(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 - 4} - x + 2}{4} + \frac{x-2}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{x}{4}\right)^{-2} = \frac{16}{x^2} \] Производная: \[ f'(x) = -\frac{32}{x^3} \]
    Ответ: \( f'(x) = -\frac{32}{x^3} \).

  3. Вычислите: \[ 25^{\log_{16}2} + \log_{5}\sqrt{7} \]
    Решение: \[ 25^{\log_{16}2} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \] \[ \log_{5}\sqrt{7} = \frac{1}{2} \log_{5}7 \]
    Ответ: \( \sqrt{5} + \frac{1}{2} \log_{5}7 \).

  4. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert 4 - x\rvert - x}{\lvert x - 6\rvert - 2} > 2 \]
    Решение: Рассмотрим случаи для модулей:
    1. \( x 2 \) ⇒ \( x < 2 \).
    2. \( 4 \le x 2 \) ⇒ \( x - 4 < 2 \) ⇒ \( x < 6 \), учтен исходный интервал \( [4, 6) \).
    3. \( x \ge 6 \): \[ \frac{x - 4 - x}{x - 6 - 2} = \frac{-4}{x - 8} \] Решаем \( \frac{-4}{x - 8} > 2 \) ⇒ \( x - 8 < -2 \) ⇒ \( x < 6 \), противоречит условию.
    Объединяем решения: \( x < 2 \cup 4 \le x < 6 \).
    Ответ: \( x \in (-\infty, 2) \cup [4, 6) \).

  5. Решите уравнение: \[ x^2 - 3x + \frac{12}{x} + \frac{16}{x^2} = 8 \]
    Решение: Умножим обе части на \( x^2 \): \[ x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16 = 0 \] Подбор корней: \( x = 2 \) и \( x = -1 \). Разложим на множители: \[ (x - 2)(x + 1)(x^2 - 2x - 8) = 0 ⇒ x = 2, -1, 1 \pm \sqrt{17}/2 \] Проверка показывает, что подходят \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
    Ответ: \( x = 2 \), \( x = -1 \).

  6. Решите неравенство: \[ \sqrt{\sin\!\Bigl(2x + \frac{3\pi}{4}\Bigr)} \;\le\; \frac{1}{\sqrt{2}} \]
    Решение: Возведем в квадрат: \[ \sin\!\Bigl(2x + \frac{3\pi}{4}\Bigr) \le \frac{1}{2} \] Учитывая область определения \( \sin\theta \ge 0 \): \[ 0 \le \sin\theta \le \frac{1}{2} ⇒ \theta \in [0, \frac{\pi}{6}] \cup [\frac{5\pi}{6}, \pi] + 2\pi k \] Подставляем \( \theta = 2x + \frac{3\pi}{4} \): \[ 2x + \frac{3\pi}{4} \in [0, \frac{\pi}{6} ] \cup [\frac{5\pi}{6}, \pi] + 2\pi k \]
    Ответ: \( x \in \left[-\frac{3\pi}{8}, -\frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{8}\right] + \pi k \).

  7. Найдите расстояние от начала координат до касательной к \( f(x) = -\frac{1}{x} + 3 \) в точке \( x_0 = 1 \).
    Решение: Уравнение касательной: \[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 1 \cdot (x - 1) + 2 = x + 1 \] Расстояние от \( (0,0) \) до прямой \( x - y + 1 = 0 \): \[ d = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
    Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

  8. Определите значения \( a \), при которых уравнение \[ x^2 + x\lfloor x\rfloor = 8 + a(x - 2) \] имеет два различных корня.
    Решение: Рассмотрим \( x \in [n, n+1) \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Подставим \( \lfloor x \rfloor = n \): \[ x^2 + nx - a(x - 2) - 8 = 0 ⇒ x^2 + (n - a)x + 2a - 8 = 0 \] Условия: дискриминант \( D > 0 \) и корни лежат в \( [n, n+1) \). Анализ показывает, что подходит \( a > 6 \).
    Ответ: \( a > 6 \).

  9. Найдите радиус вписанной окружности треугольника с высотами 1, 2, 3.
    Решение: Площадь треугольника через высоты: \[ S = \frac{1}{2} h_1 a = \frac{1}{2} h_2 b = \frac{1}{2} h_3 c ⇒ a = \frac{2S}{1}, b = \frac{2S}{2}, c = \frac{2S}{3} \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{\frac{a + b + c}{2}} = \frac{S}{S(2 + 1 + \frac{2}{3})} = \frac{1}{\frac{14}{3}} = \frac{3}{14} \]
    Ответ: \( \frac{3}{14} \).

  10. Найдите угол между прямыми \( BD \) и \( BC \).
    Решение: Используя координаты и векторный анализ, находим координаты точек и векторы. Угол между векторами \( \vec{BD} \) и \( \vec{BC} \) вычисляется через скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BD}| |\vec{BC}|} \] После расчетов получаем угол \( 45^\circ \).
    Ответ: \( 45^\circ \).
Материалы школы Юайти